ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO

Έστω μια συνάρτηση $f$ , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $\left[ \alpha ,\beta \right]$ . Αν ισχύει ότι:
* Η $f$ είναι συνεχής στο $\left[ \alpha , \beta \right]$ και
* $f(\alpha) \cdot f(\beta)<0$
Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{o} \in \left( \alpha ,\beta \right)$ τέτοιο ώστε:

$f(x_{o})=0$

Δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης $f(x)=0$ στο ανοιχτό διάστημα $\left( \alpha ,\beta \right)$

Παράδειγμα

Να δειξετε ότι εξίσωση $-x^{3}+3x-1=0$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο $(0,1)$

Λύση

Θεωρούμε συνάρτηση $f$ με $f(x) =-x^{3}+3x-1=0$ η οποία έχει πεδίο ορισμού το $A_{f}=\mathbb{R}$
για την οποία ισχύουν:

* $f$ συνεχής στο $[0,1]\subseteq A_{f}=\mathbb{R}$ ως πολυωνυμική.
* $f(0)=-1 <0$ και $f(1)=1>0.$ οπότε $f(0)\cdot f(1)= -1<0$

Επομένως για την $f,$ στο $[0,1],$ ισχύουν οι προϋποθεσεις του Θεωρήματος Bolzano δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον
$x_{0}\in (0,1)$ τέτοιο ώστε:

$f(x_{0})= 0 \Leftrightarrow -x_{0}^{3}+3x_{0}-1 =0.$

Δειτε παρόμοια παραδείγματα:
http://diakopoulos.net/2015/10/08/bolzano-%CE%BC%CE%BF%CE%BD%CE%B1%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CE%B7-%CE%BB%CF%85%CF%83%CE%B7/#more-111

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Μία απάντηση στο “ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31