ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΘΜΤ

Αν για δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ ισχύει ότι:

$f'(x)=g'(x)$

για κάθε $x\in\Delta_1\cup\Delta_2\cup...$ όπου $\Delta_1, \Delta_2,...$ διαστήματα, τότε είναι:

$f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $g(x)+c_1, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_1$ \\ $g(x)+c_2, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_2$ \\ $\vdots$ \end{tabular} \right.$

Παράδειγμα.1.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\rr^*\rightarrow \rr$ για την οποία ισχύει

$f(-1)=\frac{e+1}{e}, \quad f(1)=e-4 \quad \text{και} \quad x^2f'(x)=x^2e^x-1$

για κάθε $x\neq0$ . Να βρείτε το τύπο της $f.$

Λύση
Για κάθε $x\in(-\infty, 0)\cup(0,+\infty)$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &x^2f'(x)=x^2e^x-1 \Leftrightarrow\\ &f'(x)=\frac{x^2e^x-1}{x^2} \Leftrightarrow\\ &f'(x)=e^x-\frac{1}{x^2} \Leftrightarrow\\ &f'(x)=(e^x+\frac{1}{x})' \end{align*}$

Άρα υπάρχουν σταθερές $c_1$ και $c_2$ ώστε:

$f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $e^x+\frac{1}{x}+c_1,$ & $ x<0$ \\\\ $e^x+\frac{1}{x}+c_2,$ & $ x>0$ \\ \end{tabular} \right.$

Όμως για $x=-1$ είναι:

$\begin{align*} &f(-1)=\frac{e+1}{e} \Leftrightarrow\\\\ &e^{-1}+\frac{1}{-1}+c_1=\frac{e}{e} +\frac{1}{e}\Leftrightarrow\\\\ &\frac{1}{e}-1+c_1=1+\frac{1}{e} \Leftrightarrow\\\\ &c_1=2 \end{align*}$

Ενώ για $x = 1$ έχουμε:

$\begin{align*} &f(1)=e-4 \Leftrightarrow\\\\ &e+1+c_2=e-4 \Leftrightarrow\\\\ &c_2=-5 \end{align*}$

Τελικά είναι:

$f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $e^x+\frac{1}{x}+2,$ &$ x<0$ \\\\ $e^x+\frac{1}{x}-5,$ & $ x>0$ \\ \end{tabular} \right.$

Παράδειγμα.2.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\rr\rightarrow\rr$ για την αποία ισχύει

$f(2)=2 \quad \text{και} \quad xf'(x)=2x^2+f(x)$

για κάθε $x\in\rr$ . Να βρείτε το τύπο της $f.$

Λύση

Για κάθε $x\in(-\infty , 0)\cup(0,+\infty)$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &xf'(x)=2x^2+f(x) \Leftrightarrow\\ &xf'(x)-f(x)=2x^2 \Leftrightarrow\\ &\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=2 \Leftrightarrow\\ &(\frac{f(x)}{x})'=(2x)' \end{align*}$

Άρα υπάρχουν σταθερές $c_1$ και $c_2$ ώστε:

$\begin{align*} &\frac{f(x)}{x}=\left\{ \begin{tabular}{ll} $2x+c_1,$ & $ x<0$ \\\\ $2x+c_2,$ & $ x>0$ \\ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow\\\\ &f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $2x^2+c_1x,$ & $ x<0$ \\\\ $2x^2+c_2x,$ & $ x>0$ \\ \end{tabular} \right. \end{align*}$

Οπότε ο τύπος της $f$ είναι:

$f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $2x^2+c_1x,$ & $ x<0$ \\\\ $c,$ &$ x=0$\\\\ $2x^2+c_2x,$ & $ x>0$ \\ \end{tabular} \right.$

Όμως η $f$ είναι συνεχής στο $x_0=0$ . Οπότε είναι:

$\begin{align*} &f(0)=\lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x) \Leftrightarrow\\\\ &c=\lim_{x \to 0^-}(2x^2+c_1x)=\lim_{x \to 0^+}(2x^2+c_2x) \Leftrightarrow\\\\ &c=0 \end{align*}$

Όμως η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0=0$ . Οπότε είναι:

$\begin{align*} &\lim_{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \Leftrightarrow\\\\ &\lim_{x \to 0^-}\frac{2x^2+c_1x}{x}=\lim_{x \to 0^+}\frac{2x^2+c_2x}{x} \Leftrightarrow\\\\ &c_1=c_2 \end{align*}$

Όμως είναι:

$\begin{align*} &f(2)=2 \Leftrightarrow\\\\ &2\cdot2^2+c_12=2 \Leftrightarrow\\\\ &8+2c_1=2 \Leftrightarrow\\\\ &c_1=-3 \end{align*}$

Άρα έχουμε ότι:

$c_2=-3$

Τελικά είναι:

$f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $2x^2-3x, x<0$ \\\\ $0, x=0$\\\\ $2x^2-3x, x>0$ \\ \end{tabular} \right.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά