Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Αν μια συνάρτηση f:A\rightarrow\rr παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το 0 μόνο στο x_0, τότε το x_0 είναι μοναδική ρίζα της f και ισχύει f(x)>0 για κάθε x\in A-\{x_0\}.
Αν μια συνάρτηση f:A\rightarrow\rr παρουσιάζει ολικό μέγιστο το 0 μόνο στο x_0, τότε το x_0 είναι μοναδική ρίζα της f και ισχύει f(x)<0 για κάθε x\in A-\{x_0\}.

Παράδειγμα.
Να λύσετε την εξίσωση

    \[ln(x+1)=x\]

Λύση
Η εξίσωση για x>-1 γίνεται:

    \begin{align*} &ln(x+1)=x \Leftrightarrow\\ &ln(x+1)-x=0 \end{align*}

Θεωρούμε τη συνάρτηση

    \[f(x)=ln(x+1)-x \quad \text{με} \quad x>-1\]

Για κάθε x>1 έχουμε:

    \begin{align*} f'(x)&=\frac{1}{x+1}-1\Leftrightarrow\\\\ f'(x) &=\frac{1-x-1}{x+1}\Leftrightarrow\\\\ f'(x) &=\frac{-x}{x+1} \end{align*}

Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου, της συνάρτησης

    \[f'(x)=0 \Leftrightarrow \frac{-x}{x+1}=0 \Leftrightarrow x=0\]

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[ \begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $-1$ & & $ 0$ & & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ -x$ & & $ +$ & $|$ & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & \\ \hline $ x+1$ & & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & $ |$ & $ +$ & \\ \hline $ f' $ & & &$ ||$ & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & \\ \hline $f $ & & $ $ &$ ||$ & $ \nearrowtail$ & $ |$ & $ \searrowtail$ & \\ \hline \end{tabular} \]

Παρατηρούμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-1,0] και γνησίως φθίνουσα στο [0,+\infty) ενώ στο x_{0}=0, παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f(0)=0. Δηλαδή maxf =0.
Τελικά

    \begin{align*} &f(x)\leq max f \Rightarrow\\ &f(x)\leq f(0) \Rightarrow\\ &f(x)\leq 0 \end{align*}

οπότε για x \neq 0 και x>-1
έχουμε ότι

    \[f(x) < 0.\]

Άρα η συνάρτηση έχει μοναδική λύση τη x_{0}=0.
Επομένως και η αρχική εξίσωση έχει μοναδική λύση τη x=0.

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *