Αρχείο κατηγορίας Γ Λυκείου

Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ – ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Σχολιάστε

Η μέθοδος της ολοκληρωσης με αντικατατάσταση ( ή αλλαγη μεταβλητής ) περιγράφεται από τον τύπο:

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f\Big( g(x)\Big) \cdot g'(x) dx = \int_{u_{1}}^{u_{2}} f(u) du.\]

όπου f και g' συνεχείς συναρτήσεις με u = g(x), \, du =g'(x) dx και u_{1}= g(\alpha), u_{2} =g(\beta).

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ – ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ →

Γ Λυκείου / ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΠΟΥ ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΧΟΥΝ ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Σχολιάστε

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΠΟΥ ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΧΟΥΝ ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ →

Γ Λυκείου / ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

ΕΥΘΕΙΑ Η ΟΠΟΙΑ ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Σχολιάστε

Έστω f:A\to\rr μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x_{0}\in A_{f}. Θα λέμε ότι

  • Η ευθεία (\epsilon):y =\lambda x +\beta, εφάπτεται στην γραφικη παράσταση της συνάρτησης, C_{f}, στο σημείο M\big(x_{0},f(x_{0})\big) αν και μόνο αν το σημειο Μ ανηκει στην C_{f} και στην ευθεία (\epsilon) και ο συντελεστης διέυθυνσης \lambda_{\epsilon}, της ευθείας (\epsilon) είναι ίσος με την παράγωγο της f στο x_{0} δηλαδή:

        \[\begin{cases} M\big(x_{0},f(x_{0})\big)\in (\epsilon):y =\lambda x+\beta\Leftrightarrow f(x_{0})=\lambda x_{0}+\beta\\\\ \quad \text{και} \\\\ f'(x_{0})=\lambda \end{cases}\]

    • Rendered by QuickLaTeX.com

    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΘΕΙΑ Η ΟΠΟΙΑ ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ →

    Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Σχολιάστε

    ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ


    Στις περιπτώσεις που ζητάμε την μονοτονία μιας συνάρτησης f, για την οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της, αλλά γνωρίζουμε ότι η σύνθεση της με μια συνάρτηση g είναι ίση με μια συνάρτηση h.

        \[g\circ f = h.\]

    Πρέπει να υπολογίσουμε την μονοτονία της g της h, οπότε θα είναι γνωστή και η μονοτονία της σύνθεσης τών συναρτήσεων f με g, δηλαδη της g\circ f.


    Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ

    Σχολιάστε

    Αν στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου, στον παρονομαστή υπάρχει ως παράγοντας τριωνυμο που δεν παραγοντοποιειται.
    Τότε το αντίστοιχο κλάσμα της αρχικής μορφοποίησης γίνεται:

        \[\dfrac{Ax+B}{\alpha x^{2}+\beta x +\gamma}\]

    Παράδειγμα.1.

    Να υπολογισθεί το ορισμένο ολοκλήρωμα της παρακάτω ρητής συνάρτησης:

        \[\int_{-1}^{0}\dfrac{x+1}{x^{3}-1}\, dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ – ΙΣΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    Σχολιάστε
    Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος απο τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή. Εκτελούμε την διαίρεση P(x): Q(x) και γράφουμε:

        \[I= \int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx\]

        \[I= \int_{\alpha}^{\beta}P(x)+\dfrac{\upsilon(x)}{Q(x)}dx\]

    Παράδειγμα
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα της ρητής συνάρτησης:

        \[\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ – ΙΣΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΡΚΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΒΑΘΜΟ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    3 σχόλια

    Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μικρότερος απο τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή προσπαθούμε να γράψουμε τον παρονομαστή ως γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων και στη συνέχεια την ρητη συνάρτηση ως άθροισμα κλασμάτων με παρονομαστή τον κάθε ένα απο τους παράγοντες που βρήκαμε.

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{(\alpha_{1}x+\beta_{1})\cdots(\alpha_{\nu}x+\beta_{\nu} )}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\dfrac{A_{1}}{\alpha_{1}x+\beta_{1}}+\cdots +\dfrac{A_{\nu}}{\alpha_{\nu}x+\beta_{\nu}}\Big) dx =\]

        \[\dfrac{A_{1}}{\alpha_{1}}\Big[\ln |\alpha_{1}x+\beta_{1}|\Big]_{\alpha}^{\beta}+ \cdots + \dfrac{A_{\nu}}{\alpha_{\nu}}\Big[ \ln |\alpha_{\nu}x +\beta_{\nu}|\Big]_{\alpha}^{\beta}\]



    Παράδειγμα
    Να υπολογισθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα ρητης συνάρτησης:

        \[\int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}\, dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΡΚΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΒΑΘΜΟ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    1 σχόλιο

    Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο αριθμητής είναι η παράγωγος του παρονομαστή γράφουμε

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{Q'(x)}{Q(x)}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\ln \big|{Q(x)}\big|\Big)'dx =\]

        \[\Big[\ln \big|{Q(x)}\big|\Big]_{\alpha}^{\beta}\]


    Παράδειγμα
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

        \[Ι = \int_{0}^{1} \dfrac{2x+3}{x^{2}+3x+5}dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ →