Αρχείο κατηγορίας Γ Λυκείου

Γ Λυκείου / ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

Σχολιάστε

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (\alpha,\beta), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο τπυ x_0. Αν:

  • Η f είναι κυρτή στο (\alpha,x_0) και κοίλη στο (x_0,\beta), ή αντιστρόφως, και
  • Η C_f έχει εφαπτομένη στο σημείο A(x_0,f(x_0))

    • Τότε το σημείο A(x_0,f(x_0)) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

    ΚΥΡΤΗ – ΚΟΙΛΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Σχολιάστε

    Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα \Delta και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \Delta. Θα λέμε ότι:

  • Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο \Delta αν η f' είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του \Delta.
  • Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο \Delta αν η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του \Delta.

    • ΘΕΩΡΗΜΑ
    Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα \Delta και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \Delta.

  • Αν f''(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta, τότε η f είναι κυρτή στο \Delta.
  • Αν f''(x)<0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta, τότε η f είναι κοίλη στο \Delta.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΗ – ΚΟΙΛΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ →

    Γ Λυκείου / ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

    ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

    Σχολιάστε

    Αν μια εξίσωση περιέχει μια πραγματική, παράμετρο \lambda \in \rr, τότε για να βρούμε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές του \lambda \in \rr, εργαζόμαστε ως εξής:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

    ΥΠΑΡΞΗ ΜΟΝΑΔΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

    1 σχόλιο

    ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

    Στις ασκήσεις που αναζητάμε την ύπαρξη μοναδικής ρίζας μιας συνάρτησης, και δεν γνωρίζουμε συγκεκριμένο διάστημα στο οποίο θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε, κάποιο απο τα υπαρξιακά θεωρήματα Bolzano, Rolle τότε εργαζόμαστε ως εξής:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΑΡΞΗ ΜΟΝΑΔΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

    ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

    Σχολιάστε

    Έστω οτι η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [\alpha, \beta], τότε από το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, η συνάρτηση f, παρουσιάζει ένα ελάχιστο m και ένα μέγιστο M.
    Τότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, είναι το διάστημα [m,M]. Για να βρούμε το ελάχιστο και το μέγιστο της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ →

    Γ Λυκείου / ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

    ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    7 σχόλια

    Έστω f: A \to \rr, μια συνεχής συνάρτηση. Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής

    • Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία.
    • Βρίσκουμε τα διαστήματα \Delta_{1},\Delta_{2},\cdots του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f, σε καθένα απο τα διαστήματα η οποία διατηρεί μονοτονία.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

    ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ

    Σχολιάστε

    Αν έχουμε ως δεδομένο μια ανισότητα της μορφής

        \[f(x)\leq g(x) \quad \text{ή} \quad f(x)\geq g(x)\]

    για κάθε x\in\Delta και το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε μια ισότητα τότε εργαζόμαστε ως εξής:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

    ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, μια συνάρτηση f που είναι συνεχής στο κλειστό [\alpha,\beta] παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο [\alpha,\beta]. Δηλαδή υπάρχουν με f(x_1)=\mu και f(x_2)=M,
    ώστε \mu\leq f(x)\leq M για κάθε x\in[\alpha,\beta].

    Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

    ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

    Σχολιάστε

    Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f,g:A\rightarrow\rr.
    Αν η f έχει ολικό ελάχιστο το \mu
    και η g έχει ολικό μέγιστο το M
    και ισχύει \mu\geq M,
    τότε ισχύει ότι f(x)\geq g(x) για κάθε x\in A.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

    ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε
  • Αν μια συνάρτηση f: A\rightarrow\rr έχει ολικό ελάχιστο \mu>0 τότε ισχύει ότι f(x)>0 για κάθε x\in A.
  • Αν μια συνάρτηση f: A\rightarrow\rr έχει ολικό μέγιστο M<0 τότε ισχύει ότι f(x)<0 για κάθε x\in A.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →