Αρχείο ετικέτας ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH37

Σχολιάστε

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH37

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH37 →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH36

1 σχόλιο

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH36

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH36 →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΝΙΗ33

1 σχόλιο

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΝΙΗ33

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΝΙΗ33 →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH/30

1 σχόλιο

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH/30

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH/30 →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φ12/205

Σχολιάστε

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φ12/205

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φ12/205 →

Γ Λυκείου / ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ, Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Έστω μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και 1-1. Για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος της αντίστροφης συνάρτησης της μορφής

    \[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx\]

όπου ο υπολογισμός της αντίστροφης είναι αδύνατος, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

  • θέτουμε u =f^{-1}(x)\Rightarrow f(u) = x, οπότε f'(u)du = dx

    • Βρίσκουμε τα άκρα ολοκλήρωσης:

  • για x=\alpha έχουμε: f(u) = \alpha \Leftrightarrow f(u) = f(\gamma)\Leftrightarrow u = \gamma.
  • για x=\beta έχουμε: f(u) = \beta \Leftrightarrow f(u) = f(\delta)\Leftrightarrow u = \delta.

    •     \[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx =\int_{\gamma}^{ \delta} u \cdot f'(u)\, du\]

    Και συνεχίζουμε την επίλυση με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    Σχολιάστε

    Επίλυση της εξίσωσης {\bf{ f^{^{-1}}(x) =f(x),}} στην περίπτωση που η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
    Ισχύει ότι:

  • H σύνθεση f\circ f^{^{-1}} είναι συνάρτηση ταυτοτική στο f(A) δηλαδή:

    •     \[\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.\]

  • H σύνθεση f^{^{-1}}\circ f είναι συνάρτηση ταυτοτική στο A_{f} δηλαδή:

    •     \[\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.\]

  • Οι συναρτήσεις f και f^{^{-1}} έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    Σχολιάστε

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


    Έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μία 1-1 συνάρτηση, άρα ορίζεται η αντίστροφη f^{-1}.

    Επειδή οι γραφικές παραστάσεις C_{f} και C_{f^{-1}} είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x, προκύπτει ότι οι εξισώσεις f(x)=x και f^{-1}(x)=x είναι ισοδύναμες, δηλαδή:

        \[f(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x.\]

    Λύνοντας μια από τις παραπάνω εξισώσεις βρίσκουμε τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) των C_f και C_{f^{-1}} με τον άξονα συμμετρίας τους y=x.

    Αν δεν μπορεί να βρεθεί τύπος για την αντίστροφη συνάρτηση και θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση f^{-1}(x)=x, τότε λύνουμε την ισοδύναμή της εξίσωση f ( x) = x , διότι τα σημεία τομής της C_{f^{-1}} με την ευθεία y = x (αν υπάρχουν) είναι τα ίδια με τα σημεία τομής της C_ f με την ίδια ευθεία.


    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    2 σχόλια

    ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


    Έστω f: A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση, για να βρούμε την αντίστροφη της f εργαζόμαστε ως εξής:

    • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
    • Θέτουμε f(x)=y οπότε είναι x=f^{^{-1}}(y).
    • Λύνουμε την εξίσωση f(x)=y ως προς x, βάζοντας,
      όπου χρειάζεται τους αναγκαίους περιορισμούς για το y.
    • Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνουν το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f^{-1}.
    • Αν η λύση της εξίσωσης y=f(x) ως προς x ειναι η x=g(y), τότε έχουμε f^{-1}(y)=g(y). Θέτουμε όπου y το x και έχουμε έτσι τον τύπο της f^{-1}.


    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

    1 σχόλιο

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

  • Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη τότε η συνάρτηση f είναι και 1-1. Το αντίστροφο δεν ισχύει.
  • Αν για μία συνάρτηση f διαπιστώσουμε ότι είναι άρτια ή περιοδική ή ότι για δύο διαφορετικές τιμές του x π.χ x_{1},x_{2} είναι f(x_{1})=f(x_{2}) τότε η συνάρτηση δεν είναι 1-1 αφου θα έχουμε x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}).

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ →