Αρχείο ετικέτας ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

Σχολιάστε

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ


Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
Ορισμός
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων \vec{\boldsymbol{α}} και \vec{\boldsymbol{\beta}}, και το συμβολίζουμε με \vec{\boldsymbol{α}} \cdot \vec{\boldsymbol{\beta}}, τον πραγματικό αριθμό:

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\lvert{\vec{α}}\rvert \lvert{\vec{\beta}}\rvert \sigma \upsilon \nu \phi\]


Συνέχεια ανάγνωσης ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ →

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ,Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Σχολιάστε
  1. Δίνονται τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} στο επόμενο σχήμα.

    Να κατασκευάσετε τα διανύσματα: 2\vec{\alpha}, ~-\dfrac{1}{2}\vec{\beta}, ~-\vec{\alpha} + 2\vec{\beta}

    2. Συνέχεια ανάγνωσης ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑ →

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ,Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Σχολιάστε

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

  1.  Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τα αθροίσματα:
    i) \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Gamma}
    ii)\overrightarrow{A\Gamma} + \overrightarrow{B\Gamma}
  2.  Να εκφράσετε το διάνυσμα \vec{x} ως συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται.

    3. Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

Σχολιάστε

Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου

Αν \vec{α}=(\mathrm{x_1},\mathrm{y_1}) και \vec{\beta}=(\mathrm{x_2},\mathrm{y_2}) δύο διανύσματα του Καρτεσιανού επιπέδου, τότε:

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\mathrm{x_1}\mathrm{x_2}+\mathrm{y_1}\mathrm{y_2}\]

Δηλαδή:
Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομωνύμων συντεταγμένων τους.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

Σχολιάστε

Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου

Για τα διανύσματα \vec{α},\vec{\beta} και \vec{\gamma} ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

  1.  \color{violet}{(\lambda \vec{α}) \cdot \vec{\beta} = \vec{α} \cdot (\lambda \vec{\beta}) = \lambda (\vec{α} \cdot \vec{\beta}), \lambda \in \mathbb{R}}
  2.  \color{magenta}{\vec{α} \cdot (\vec{\beta + \gamma}) = \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \vec{α} \cdot \vec{\gamma}}
  3.  \color{orange}{\vec{α} \perp \vec{\beta} \Leftrightarrow \lambda_{\vec{α}} \lambda_{\vec{\beta}} = -1, εφόσον \color{orange}{\vec{α}, \vec{\beta} \nparallel y'y}}

Συνέχεια ανάγνωσης ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Σχολιάστε

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Σχολιάστε

Κάθετα διανύσματα – Ορισμός και ιδιότητες εσωτερικού γινομένου}

Σε ασκήσεις που υπάρχει ως δεδομένο ή ως ζητούμενο ότι δύο μή μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα. χρησιμοποιούμε την ισοδυναμία:

    \[\vec{α} \perp \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{\beta} = 0.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΕ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Σχολιάστε

Κάθετα διανύσματα – Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου

Όταν δύο μή μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους τότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.

    \[\text{Αν:}\quad \vec{\alpha}=(x_{1}\, , \, y_{1}) \quad \text{και} \quad \vec{\beta}=(x_{2}\, , \, y_{2})\]

    \[\text{με}\quad \vec{\alpha} {\Large{\bot} \vec{\beta}\]

    \[\text{Τότε:} \quad \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =0 \quad \text{οπότε} \quad x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2} =0.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΕ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕ ΙΣΑ ΜΕΤΡΑ

Σχολιάστε

Ισότητα μέτρων

Όταν έχουμε ώς δεδομένο οτι δυο διανύσματα έχουν το ίδιο μέτρο τότε υψώνουμε στο τετράγωνο και κάνουμε χρήση της ιδιότητας:

    \[\lvert \vec{\nu} \rvert^{2} = \vec{\nu}^{2}.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕ ΙΣΑ ΜΕΤΡΑ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΜΕΤΡΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Σχολιάστε

Υπολογισμός μέτρου της μορφής \vert \boldsymbol{\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta}} \rvert

Αν για τα διανύσματα \vec{α}, \vec{\beta} γνωρίζουμε το μέτρο τους |\vec{α}|, |\vec{\beta}| και την γωνία τους (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}), τότε μπορούμε να βρούμε ένα μέτρο της μορφής \lvert \kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} \rvert
υψώνοντας το στο τετράγωνο και χρησιμοποιόντας την ιδιότητα \vec{α}^{2} = |\vec{α}|^{2}.

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΕΤΡΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ →