BOLZANO ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ

Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f(x)=2x^{3}+x-1$ έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα $(0,1)$

ΛΥΣΗ
Η $f(x)=2x^{3}+x-1$ έχει πεδίο ορισμού $A_{f}= \mathbb{R}$
Για την $f$ ισχύουν:

* $f$ συνεχής στο $[0,1]\subseteq A_{f}= \mathbb{R}$ ως πολυωνυμική συνάρτηση.
* $f(0)=-1 < 0$ και $f(1)= 2 >0$ οπότε έχουμε: $f(0)\cdot f(1) =-2 <0.$

Συνεπώς για την $f,$ στο $[0,1],$ ισχύουν οι προϋποθεσεις του θεωρήματος $\textlatin{Bolzano}$ δηλαδή
υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $f(\xi) =0$
Για να δείξουμε οτι αυτη η ρίζα είναι μοναδική αρκεί να δείξουμε ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη συνάρτηση.
Έχουμε:
Για κάθε $x_{1}, x_{2} \in A_{f}$ με $x_{1} < x_{2}$ ισχύει:

$x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow x_{1}^{3}< x_{2}^{3} \Leftrightarrow 2x_{1}^{3}< 2x_{2}^{3}. \, (1)$

$x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow x_{1} -1< x_{2} -1. \, (2)$

Προσθέτοντας κατα μέλη τις σχέσεις $(1)$ και $(2)$ έχουμε:
$(1)+(2) \Rightarrow 2x_{1}^{3}+ x_{1} -1< 2x_{2}^{3}+x_{2} -1\Leftrightarrow f(x_{1})< f(x_{2})$

Τελικά έχουμε ότι: $x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f(x_{1})< f(x_{2}),$ άρα η $f$ γνησίως αύξουσα στο $A_{f}= \mathbb{R}.$
Επομένως η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μοναδική λύση στο $(0,1)\in A_{f}.$

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

BOLZANO ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ

Μία απάντηση στο “BOLZANO ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά