ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΕΣ

Αν η εξίσωση περιέχει παρονομαστές και η συνάρτηση δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος, τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και μετά θέτουμε συνάρτηση $f(x)$ . Στο τέλος αποδεικνύουμε ότι η ρίζα της $f(x)$ είναι και ρίζα της εξίσωσης.

Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής συνάρτηση: $f:[-1,2]\rightarrow\mathbb{R}$ . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-2}=0$ έχει μία τουλάχιστον στο $(-1,2)$
Λύση
Για $x\neq -1$ και $x\neq 2$ η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:
$f(x)+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-2}=0\Leftrightarrow (x+1)(x-2)f(x)+x-2+x+1=0$
Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$g(x)=(x+1)(x-2)f(x)+2x-1 \quad \text{με}\quad x\in[-1,2]$

Η συνάρτηση $g$ είναι συνεχής στο $[-1,2]$ , ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε:
$g(-1)=(-1+1)(-1-2)f(-1)+2(-1)-1=-2-1=-3$

$g(2)=(2+1)(2-2)f(2)+2(2)-1=4-1=3$

Άρα ισχύει $g(-1)g(2)<0$ . Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση $g(x)=0$ έχει μια τουλάχιστον στο $(-1,2).$
Δηλαδή υπάρχει $x_o\in(-1,2)$ τέτοιο ώστε:
$g(x_o)=0\Leftrightarrow(x_o+1)(x_o-2)f(x_o)+x_o-2+x_o+1=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(x_o)+\dfrac{1}{x_o+1}+\dfrac{1}{x_o-2}=0$

Δηλαδή το $x_o\in(-1,2)$ είναι ρίζα και της αρχικής εξίσωσης.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

2 απαντήσεις στο “ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΕΣ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31