ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μία συνεχής συνάρτηση $f$ διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της $f$ χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης $f$ σε ένα διάστημα Δ εργαζόμαστε ως εξής:
* Λύνουμε την εξίσωση $f(x)=0$
* Σχηματίζουμε πίνακα στον οποίο τοποθετούμε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης.
* Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που δημιουργούνται επιλέγουμε κατάλληλο αριθμο $\xi$ και βρίσκουμε το πρόσημο της τιμής $f(\xi)$ . Το πρόσημο αυτό έχει η $f$ σε ολόκληρο το αντίστοιχο υποδιάστημα.

Παράδειγμα
Να βρείτε το πρόσημο της $f(x)= x^{3}-4x$ για όλες τις πραγματικές τιμές του $x.$
Λύση
Λύνουμε την εξίσωση

$f(x)=0\Leftrightarrow x^{3}-4x=0 \Leftrightarrow x(x^{2}-4)=0 \Leftrightarrow$

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l l} x = 0 \\ x^{2}-4 =0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l l} x = 0 \\ x^{2}=4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l l} x = 0 \\ x=\pm 2 \end{array} \right. \end{displaymath}$

Η $f(x)=x^{3}-4x$ είναι συνεχής στο $A_{f}=\mathbb{R}.$ Απο τις συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano
η $f$ διατηρεί σταθερό πρόσημo στα διαστήματα που δεν μηδενίζεται δηλαδή στα

$(-\infty ,-2), \, (-2,0), \, (0,2), \, (2, +\infty)$

Συνεπώς επιλέγουμε τυχαιους αριθμούς σε καθε ένα απο τα διαστηματα αυτα για να βγαλουμε συμπερασμα
για το προσημο της $f$ στα αντίστοιχα διαστήματα.

´Εχουμε
$-4\in (-\infty, -2)$ με $f(-4) =(-4)^{3}-4\cdot(-4)=-48 < 0$
Άρα $f(x)<0$ στο $(-\infty, -2)$

$-1\in (-2, 0)$ με $f(-1) =(-1)^{3}-4\cdot(-1)=3> 0$
Άρα $f(x)>0$ στο $(-2,0)$

$1\in (0,2)$ με $f(1) =(1)^{3}-4\cdot(1)=-3< 0$
Άρα $f(x)<0$ στο $(0,2)$

$+3\in (2, +\infty)$ με $f(3) =(3)^{3}-4\cdot(3)=15> 0$ Άρα $f(x)>0$ στο $(0, +\infty)$
Παρατήρηση
Την παραπάνω μέθοδο την χρησιμοποιούμε μονο σε περιπτωσεις που δεν μπορουμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο με τον πίνακα προσήμων
πχ

Δείτε ενα σύνθετο παράδειγμα εδώ
http://diakopoulos.net/2015/10/21/301/

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μία απάντηση στο “ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά