ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Όταν μας ζητούν να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης $f(x)$ πολλαπλού τύπου σε ένα σημείο $x_o$ στο οποίο αλλάζει ο τύπος εργαζόμαστε ως εξής:
* Βρίσκουμε τα πλευρικά όρια:

$\lim_{x \to x_o^-}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$

και

$\lim_{x \to x_o^+}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$

* Αν τα παραπάνω όρια είναι ίσα με έναν πραγματικό αριθμό $l$ τότε η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_o$ και ισχύει $f'(x_o)=l$ . Σε κάθε άλλη περίπτωση η $f$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_o$ .

Παράδειγμα.1.
Να βρείτε αν υπάρχει η παράγωγος της συνάρτησης στο $x_{0} =0.$

$f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2+3x, \quad x <0$ \\ $2x+\eta\mu x, \quad x \geq 0$ \end{tabular} \right.$

Λύση
Απο τον ορισμο της παραγωγου στο $x_{0}$ έχουμε οτι θα πρέπει να υπάρχει στο $\rr$ το όριο:

$\displaystyle\lim_{x \to x_{0}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

για $x_{0}=0$ έχουμε

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}$

Είναι:
$f(0)= 2\cdot0+\eta\mu0 =0$

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x} =\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x } = \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x }$

Επειδή στο $0$ αλλάζει κλάδο η συνάρτηση θα πρέπει να υπολογίσουμε τα παρακάτω πλευρικά όρια:

$\displaystyle\lim_{x \to 0^-}\frac{f(x)}{x}$

και

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)}{x}$

Έχουμε:

$\lim_{x \to 0^-}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0^-}\frac{x^2+3x}{x}=$

$\lim_{x \to 0^-}\frac{x^2+3x}{x}=\lim_{x \to 0^-}\frac{x(x+3)}{x}=\lim_{x \to 0^-}(x+3)=3$

Επίσης έχουμε:

$\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0^+}\frac{2x+\eta\mu x}{x}=$

$\lim_{x \to 0^+}\frac{2x+\eta\mu x}{x}=\lim_{x \to 0^+}(\frac{2x}{x}+\frac{\eta\mu x}{x})=\lim_{x \to 0^+}(2+\frac{\eta\mu x}{x})=$

$= 2+1=3.$

Συνεπώς καταλήξαμε ότι

$\displaystyle\lim_{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=3$

και

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=3.$

Αφού τα πλευρικά όρια είναι ίσα, απο το κριτήριο πλευρικών ορίων, ισχύει ότι:

$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=3 \Leftrightarrow f'(0)=3$

Παράδειγμα.2.
Να βρείτε αν υπάρχει η παράγωγος της συνάρτησης στο $x_{0} =0.$

$f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $\dfrac{\hm^{2}x}{x},$ & αν\quad $x \neq 0$ \\\\ $0 $& αν \quad $x = 0$ \end{tabular} \right.$

Λύση

Από τον ορισμό της παραγώγου στο $x_0,$ έχουμε ότι για να είναι η συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη στο $x_{0}= 0$
θα πρέπει να υπάρχει στο $\rr$ το όριο:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{ x-0}=$

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{\hm^{2}x}{x}-0}{ x-0}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{\hm^{2}x}{x}}{x} =\lim_{x\to 0}\dfrac{\hm^{2}x}{x^{2}}}=$

$\lim_{x\to 0} \Big( \dfrac{\hm x}{ x}\Big)^{2} =1 \in \rr$

Άρα $f'(0)= 1.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά