ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΜΕ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει ότι

$2x-3x^2\leq f(x)\leq2x+x^2$

για κάθε $x\in\mathbb{R}.$
Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$ και να βρείτε την $f'(0).$

Λύση
Πρέπει να υπολογίσουμε το όριο

$\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$

Αρχικά πρέπει να βρούμε την τιμή $f(0)$ . Στη σχέση:

$2x-3x^2\leq f(x)\leq2x+x^2 \quad (1)$

θέτουμε $x=0$ και προκύπτει:

$2\cdot 0-3\cdot 0^2\leq f(0) \leq 2 \cdot 0+0^2 \Leftrightarrow$

$0\leq f(0)\leq 0$

$\Leftrightarrow f(0)=0$

Το όριο που πρέπει να υπολογίσουμε γίνεται

$\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x}$

Έχουμε:
*Αν $x>0$ τότε ισχύει:

$2x-3x^2\leq f(x)\leq2x+x^2 \quad$

$\dfrac{2x-3x^2}{x}\leq\frac{f(x)}{x}\leq\dfrac{2x+x^2}{x}$

Βρίσκουμε ότι:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+}\dfrac{2x-3x^2}{x} &=& \lim_{x \to 0^+}\dfrac{x(2-3x)}{x}\\ &=& \lim_{x \to 0^+}(2-3x)=2. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+}\dfrac{2x+x^2}{x} &=& \lim_{x \to 0^+}\dfrac{x(2+x)}{x}\\ &=& \lim_{x \to 0^+}(2+x)=2. \end{eqnarray*}$

Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής ισχύει ότι:

$\lim_{x \to 0^+}\dfrac{f(x)}{x}=2 \quad (2)$

*Αν $x<0$ τότε ισχύει:

$2x-3x^2\leq f(x)\leq2x+x^2 \quad$

$\dfrac{2x-3x^2}{x}\geq\frac{f(x)}{x}\geq\dfrac{2x+x^2}{x}$

Βρίσκουμε ότι:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-}\dfrac{2x-3x^2}{x}&=&\lim_{x \to 0^-}\dfrac{x(2-3x)}{x}\\ &=&\lim_{x \to 0^-}(2-3x) =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-}\dfrac{2x+x^2}{x} &=& \lim_{x \to 0^-}\dfrac{x(2+x)}{x}\\ &=&\lim_{x \to 0^-}(2+x) =2 \end{eqnarray*}$

Σύμφωνα με τι κριτήριο παρεμβολής ισχύει ότι:

$\lim_{x \to 0^-}\dfrac{f(x)}{x}=2 \quad (3)$

Απο τις σχέσεις $(2)$ και $(3)$ προκύπτει ότι:

$\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x}=2 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=2\Leftrightarrow f'(0)=2$

Ν. Α. Διακόπουλος