ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $x^3, \quad x \geq2$ \\ $x^2+\alpha x+\beta, \quad x < 2$ \end{tabular} \right.$

Να βρείτε τις τιμές των $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ , ώστε η συνάρτηση $f$ να είναι παραγωγίσιμη στο $2.$

Λύση
Για να είναι η συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη στο $2,$ πρέπει να είναι και συνεχής στο $2.$
Δηλαδή θα ισχύει ότι $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x) =f(2).$

Επειδή στο $x_{0} = 2$ αλλάζει κλάδο η συνάρτηση θα ισχύει ότι:

$\lim_{x \to 2^-}f(x)=\lim_{x \to 2^+}f(x)\Leftrightarrow$

$\lim_{x \to 2^-}x^3=\lim_{x \to 2^+}(x^2+\alpha x+\beta)\Leftrightarrow$

$2^3=2^2+2\alpha+\beta \Leftrightarrow$

$2\alpha+\beta=4 \Leftrightarrow$

$\beta=4-2\alpha \quad (1)$

Έτσι ο τύπος της $f$ γίνεται:

$f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $x^3, \quad x \geq2$ \\ $x^2+\alpha x+4-2\alpha, \quad x < 2$ \end{tabular} \right.$

Αφού η $f$ θέλουμε να είναι παραγωγίσιμη στο $2$ ισχύει:

$f'(2) =\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}$

Συνεπώς

$\lim_{x \to 2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$

Αφού $f(2)=8.$ Έχουμε:

$\begin{eqnarray*} & &\lim_{x \to 2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\\\\ &=&\lim_{x \to 2^-}\frac{x^2+\alpha x+4-2\alpha-8}{x-2}\\\\ &=&\lim_{x \to 2^-}\frac{x^2+\alpha x-4-2\alpha}{x-2}\\\\ &=&\lim_{x \to 2^-}\frac{(x^2-4)+(\alpha x-2\alpha)}{x-2}\\\\ &=&\lim_{x \to 2^-}\frac{(x-2)(x+2)+\alpha(x-2)}{x-2}\\\\ &=&\lim_{x \to 2^-}\frac{(x-2)(x+2+\alpha)}{x-2}\\\\ &=&\lim_{x \to 2^-}(x+2+\alpha)\\ &=&4+\alpha \end{eqnarray*}$

Επίσης έχουμε:

$\begin{eqnarray*} & &\lim_{x \to 2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\\\\ &=&\lim_{x \to 2^+}\frac{x^3-8}{x-2}\\\\ &=&\lim_{x \to 2^+}\frac{x^3-2^{3}}{x-2}\\\\ &=&\lim_{x \to 2^+}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}\\\\ &=&\lim_{x \to 2^+}(x^2+2x+4)\\ &=&4+4+4=12. \end{eqnarray*}$

Οπότε:

$\lim_{x \to 2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4+\alpha=12 \Leftrightarrow \alpha=8$

Τέλος από τη σχέση $(1)$ βρίσκουμε ότι:
$\beta = 4-2\cdot 8=-12$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά