ΑΚΡΙΒΩΣ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής $f(x)=0$ έχει ακριβώς $\nu,$ στο πλήθος ρίζες, εργαζόμαστε ως εξής:

Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον $\nu,$ στο πλήθος ρίζες.

Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση έχει το πολύ $\nu,$ στο πλήθος ρίζες καταλήγοντας σε άτοπο.

Παράδειγμα.1.

Δείξτε ότι η εξίσωση $2x=\sigma\upsilon\nu x$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο $(0,\frac{\pi}{2}).$

Λύση
Η εξίσωση γίνεται:

$\begin{align*} &2x=\sigma\upsilon\nu x \Leftrightarrow\\ &2x-\sigma\upsilon\nu x=0 \end{align*}$

Θεωρούμμε τη συνάρτηση

$f(x)=2x-\sigma\upsilon\nu x, \quad x\in[0,\frac{\pi}{2}]$

Θα αποδείξουμε αρχικά ότι η εξίσωση

$f(x)=0$

έχει μία τουλάχιστον λύση.
Η $f$ είναι συνεχής στο $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
Είναι:

$\begin{eqnarray*} f(0)&=& 2\cdot0-\sigma\upsilon\nu 0\\ &=&-1<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\dfrac{\pi}{2})&=& 2\cdot\dfrac{\pi}{2}-\sigma\upsilon\nu \dfrac{\pi}{2}\\ &=& \pi>0 \end{eqnarray*}$

Άρα ισχύει:

$f(0)\cdot f(\frac{\pi}{2})<0$

Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(0,\dfrac{\pi}{2})$

Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα $(0, \dfrac{\pi}{2}).$

Υποθέτουμε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει δύο ρίζες $\rho_1,\rho_2 \in (0,\dfrac{\pi}{2}),$ με $\rho_1<\rho_2.$

Η $f$ είναι συνεχής στο $[\rho_1,\rho_2].$

Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(\rho_1,\rho_2)$ με

$f'(x)=2+\eta\mu x$

Ισχύει ότι:

$f(\rho_1)=f(\rho_2)=0$

Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον

$\xi\in(\rho_1,\rho_2)$

ώστε:

$\begin{align*} &f'(\xi)=0 \Leftrightarrow\\ &2+\eta\mu\xi=0 \Leftrightarrow\\ &\eta\mu\xi=-2 \end{align*}$

Το οποίο είναι αδύνατο αφού $- 1 \leq \hm \xi \leq 1.$
Επομένως η εξίσωση $f(x)=0$ έχει το πολύ μία ρίζα
και επειδή, έχουμε δείξει επίσης ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα,
από τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα η οποία ανήκει στο

$(0,\frac{\pi}{2})$

Παράδειγμα.2.
Δίνεται συνάρτηση $f:[0,\pi]\rightarrow\rr$ δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει

$f(\pi)-f(0)=\pi^2 \quad \text{και} \quad f''(x)<1 \quad \text{για κάθε} \quad x\in[0,\pi]$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi\in(0,\pi)$ τέτοιο ώστε

$f'(\xi)=2\xi-\sigma\upsilon\nu\xi$

Λύση
Θέτουμε όπου $\xi$ το $x$ και έχουμε την εξίσωση:

$\begin{align*} &f'(x)=2x-\sigma\upsilon\nu x \Leftrightarrow\\ &f'(x) -2x+\sigma\upsilon\nu x=0 \quad (1) \end{align*}$

Θα αποδείξουμε αρχικά ότι η εξίσωση $(1)$ έχει τουλάχιστον μία λύση. Η εξίσωση γίνεται:

$\begin{align*} &f'(x)-2x-\sigma\upsilon\nu x=0 \Leftrightarrow\\ &f'(x)-(x^2)'+(\eta\mu x)'=0 \Leftrightarrow\\ &(f(x)-x^2+\eta\mu x)'=0. \end{align*}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$g(x)=f(x)-x^2+\eta\mu x,\quad x\in[0,\pi]$

Η $g$ είναι συνεχής στο διάστημα $[0,\pi]$ , ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.

Η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(0,\pi)$ ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων με:

$g'(x)=f'(x)-2x+\sigma\upsilon\nu x$

Είναι:

$\begin{eqnarray*} g(0)&=&f(0)-0^2+\eta\mu0\\ &=&f(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(\pi)&=&f(\pi)-\pi^2+\eta\mu\pi\\ &=&f(\pi)-\pi^2 \end{eqnarray*}$

Έχουμε όμως:

$f(\pi)-\pi^2=f(0)$

Άρα ισχύει ότι:

$g(\pi)=g(0)$

Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(0,\pi)$ ώστε:

$\begin{align*} &g'(\xi)=0 \Leftrightarrow\\ &f'(\xi)-2\xi+\sigma\upsilon\nu\xi=0 \Leftrightarrow\\ &f'(\xi)=2\xi-\sigma\upsilon\nu\xi \end{align*}$

Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση

$f'(x)-2x+\sigma\upsilon\nu x=0$

έχει το πολύ μία ρίζα.
Θέτουμε τη συνάρτηση

$h(x)=f'(x)-2x+\sigma\upsilon\nu x, x\in[0,\pi]$

Υποθέτουμε ότι η εξίσωση

$h(x)=0$

έχει δύο ρίζες $\rho_1,\rho_2 \in (0 , \pi)$ με $\rho_1<\rho_2$ .

Η $h$ είναι συνεχής στο διάστημα $[\rho_1,\rho_2]$ , ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.

Η $h$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(\rho_1,\rho_2)$ ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων με:

$h'(x)=f''(x)-2-\eta\mu x$

Ισχύει ότι:

$h(\rho_1)=h(\rho_2)=0$

Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(\rho_1,\rho_2)$ ώστε:

$\begin{align*} &h'(\xi)=0 \Leftrightarrow\\ &f''(\xi)-2-\eta\mu\xi=0 \Leftrightarrow\\ &f''(\xi)=2+\eta\mu\xi\geq1 \end{align*}$

Άρα καταλήξαμε σε άτοπο γιατί

$f''(x)<1$

για κάθε $x\in[0,\pi].$
Επομένως η εξίσωση

$h(x)=0$

έχει το πολύ μια ρίζα.
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση

$f'(x)-2x+\sigma\upsilon\nu x=0$

έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα η οποία ανήκει στο $(0,\frac{\pi}{2}).$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

2 απαντήσεις στο “ΑΚΡΙΒΩΣ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ”

Πως μπορω να βρω το πληθος πραγματικων ριζων μιας εξισωσης 3ου βαθμου χωρις να γνωριζω διαστημα;

Απάντηση

Θα πρεπει να γνωριζουμε τα διαστήματα στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και να βρουμε στη συνέχεια το συνολο τιμών σε καθενα απο αυτα.
δειτε εδω:
http://diakopoulos.net/2017/01/27/%cf%83%cf%85%ce%bd%ce%bf%ce%bb%ce%bf-%cf%84%ce%b9%ce%bc%cf%89%ce%bd-%cf%80%ce%b1%cf%81%ce%b1%ce%b3%cf%89%ce%b3%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%ce%b7%cf%83-%cf%83%cf%85%ce%bd%ce%b1%cf%81%cf%84%ce%b7%cf%83/

Απάντηση

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30