ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΥΠΑΡΞΙΑΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Θ.Μ.Τ

Ενας ακόμα τρόποςγια να χωρίσουμε το διάστημα $[\alpha,\beta]$ σε δύο υποδιαστήματα, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε την ύπαρξη κάποιου $\xi\in(\alpha,\beta)$ που έχουμε εξασφαλίσει σε προηγούμενο ερώτημα.

Παράδειγμα.1.
Δίνεται συνάρτηση $f:[\alpha,\beta]\rightarrow\rr$ η οποία είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$
και παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$ και ισχύει

$f(\alpha)=2\beta \quad \text{και} \quad f(\beta)=2\alpha$

Να αποδείξετε ότι:
i) Η εξίσωση $f(x)=2x$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $(\alpha,\beta).$
ii) Υπάρχουν $\xi_1,\xi_2\in(\alpha,\beta)$ τέτοια ώστε $f'(\xi_1)f'(\xi_2)=4.$

Λύση

i.)
Η εξίσωση γίνεται:

$f(x)=2x \Leftrightarrow f(x)-2x=0$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-2x, \quad x\in[\alpha,\beta]$
Η $g$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
Είναι:

$g(\alpha) =f(\alpha)-2\alpha =2\beta-2\alpha =2(\beta-\alpha)$

$g(\beta) =f(\beta)-2\beta =2\alpha-2\beta =-2(\beta-\alpha)$

Δηλαδή έχουμε:
$g(\alpha)\cdot g(\beta)=-4(\beta-\alpha)^2<0 \quad \text{γιατί} \quad \alpha\neq\beta$
Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(1,3)$ τέτοιο ώστε:

$g(\xi)=0 \Leftrightarrow f(\xi)-2\xi=0 \Leftrightarrow f(\xi)=2\xi$

ii.) Πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα $(\alpha,\beta)$ σε
δύο υποδιαστήματα στα οποία να εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ.
Τα υποδιαστήματα αυτά είναι τα $[\alpha,\xi]$ και $[\xi,\beta]$ όπου $\xi\in(\alpha,\beta)$ για το οποίο ισχύει: $f(\xi)=2\xi.$

Η $f$ είναι συνεχής σε καθένα από τα $[\alpha,\xi]$ και $[\xi,\beta]$ και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα $(\alpha,\xi)$ και $(\xi,\beta)$ , αφού η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\rr.$

Επομένως σε καθένα από τα υποδιαστήματα εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ σύμφωνα με το οποίο,
υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi_1\in(\alpha,\xi)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi_1) =\frac{f(\xi)-f(\alpha)}{\xi-\alpha} =\frac{2\xi-2\beta}{\xi-\alpha}$

και υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi_2\in(\xi,\beta)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi_2) =\frac{f(\beta)-f(\xi)}{\xi-\beta}\\ =\frac{2\alpha-2\xi}{\beta-\xi}$

Για τα παραπάνω $\xi_1,\xi_2\in(1,5)$ διαφορετικά μεταξύ τους ισχύει ότι:

$f'(\xi_1)f'(\xi_2) =\frac{2\xi-2\beta}{\xi-\alpha}\cdot \frac{2\alpha-2\xi}{\beta-\xi} =\frac{(\xi-\beta)\cdot(\alpha-\xi)}{(\xi-\alpha)\cdot(\beta-\xi)} =4$

Παράδειγμα.2.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\rr\rightarrow\rr$ για την οποία ισχύει $f(1)=2$ και $f(3)=8$ να αποδείξετε ότι:
i.) Υπάρχει $x_0\in(1,3)$ ώστε $f(x_0)=6$
ii. )Υπάρχουν $\xi_{1}, \xi_{2}\in(1,3)$ διαφορετικά μεταξύ τους ώστε

$\dfrac{2}{f'(\xi_1)}+\dfrac{1}{f'(\xi_2)}=1.$

Λύση
i.)
Η $f$ είναι συνεχής στο $[1,3]$ με $f(1)=2$ και $f(3)=8.$
Ο αριθμός $6$ είναι ανάμεσα στις τιμές $f(1)$ και $f(3).$

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_0\in(1,3)$ ώστε $f(x_0)=6$

ii.)
Αφού υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_0\in(1,3)$ ώστε $f(x_0)=6$ χωρίζουμε το διάστημα $[1,3]$ στα διαστήματα $[1,x_{0}]$ και $[x_{0},3]$ και έχουμε ότι:

Η $f$ είναι συνεχής στο $[1,x_0]$ και παραγωγίσιμη στο $(1,x_0)$ , αφού είναι παραγωγίσιμη στο $\rr$ .
Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει $\xi_1\in(1,x_0)$ ώστε:

$f'(\xi_1) =\frac{f(x_0)-f(1)}{x_0-1} =\frac{6-2}{x_0-1} =\frac{4}{x_0-1}.$

Επίσης η συνάρητση $f$ είναι συνεχής στο $[x_0,3]$ και παραγωγίσιμη στο $(x_0,3),$ αφού είναι παραγωγίσιμη στο $\rr.$

Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει $\xi_2\in(x_0,3)$ ώστε:

$f'(\xi_2) =\frac{f(3)-f(x_0)}{3-x_0} =\frac{8-6}{3-x_0}= \frac{2}{3-x_0}$

Για τις παραπάνω τιμές των $\xi_1,\xi_2$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &\frac{2}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)} =\frac{2}{\frac{4}{x_0-1}}+\frac{1}{\frac{2}{3-x_0}}\\\\ &=\frac{2x_0-2}{4}+\frac{3-x_0}{2} =\frac{2x_0-2+6-2x_0}{4} =1 \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΥΠΑΡΞΙΑΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Θ.Μ.Τ

Μία απάντηση στο “ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΥΠΑΡΞΙΑΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Θ.Μ.Τ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά