ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει $\xi$ ώστε $f''(\xi)=0$ , πρέπει να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle για την $f'$ σε κάποιο διάστημα $[x_1,x_2].$

Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε δύο αριθμούς $x_1\neq x_2$ με $f'(x_1)=f'(x_2).$ Οι τιμές αυτές μπορούν να προκύψουν με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ σε δύο διαστήματα ξένα μεταξύ τους.

Παράδειγμα.1.

Δίνεται συνάρτηση $f:\rr\rightarrow\rr$ δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει $f(2)=f(0)+4$ και $f(4)=f(3)+2$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(0,4)$ τέτοιο ώστε $f''(\xi)=0.$

Λύση

Η $f$ είναι συνεχής στο $[0,2]$ και παραγωγίσιμη στο $(0,2)$ , αφού είναι παραγωγίσιμη στο $\rr.$

Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει $\xi_1\in(0,2)$ ώστε:

$f'(\xi_1) =\frac{f(2)-f(0)}{2-0} =\frac{f(0)+4-f(0)}{2} =2$

Η $f$ είναι συνεχής στο $[3,4]$ και παραγωγίσιμη στο $(3,4)$ , αφού είναι παραγωγίσιμη στο $\rr.$

Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει $\xi_2\in(3,4)$ ώστε:

$f'(\xi_2) =\frac{f(4)-f(3)}{4-3} =\frac{f(3)+2-f(3)}{1} =2$

Η $f'$ είναι συνεχής στο $[\xi_1,\xi_2]$ και παραγωγίσιμη στο $(\xi_1,\xi_2)$ , αφού η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\rr.$

Επίσης ισχύει:

$f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=2$

Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει $\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subseteq(0,4)$ τέτοιο ώστε:

$f''(\xi)=0$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά