ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Έστω δύο συναρτήσεις $f,g$ ορισμένες σε ένα διάστημα $\Delta$ . Αν:

Οι $f,g$ είναι συνεχείς στο $\Delta$ και

$f'(x)=g'(x)$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$

Τότε υπάρχει σταθερά $c$ τέτοιο ώστε για κάθε $x\in\Delta$ να ισχύει:

$f(x)=g(x)+c$

Για τις ασκήσεις, οπου ζητείται ο προσδιορισμός του τύπου της συνάρτησης, από σχέση της μορφής

$f'(x)=g(x).$

για κάθε $x\in\Delta$ όπου $\Delta$ είναι διάστημα (και όχι ένωση διαστημάτων) και $g$ είναι γνωστή συνάρτηση, τότε μπορούμε να βρούμε τον τύπο της $f$ ως εξής:

Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση $G$ της $g$ , δηλαδή μια συνάρτηση $G$ για την οποία ισχύει

$G'(x)=g(x)$

Τότε για κάθε $x\in\Delta$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &f'(x)=g(x) \Leftrightarrow\\ &f'(x)=G'(x) \Leftrightarrow\\ &f(x)=G(x)+c \end{align*}$

ισχύουν οι κανόνες αντιπαραγωγισης

και οι μέθοδοι ευρέσως αρχικής συνάρτησης.
Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης όταν ισχύει:

$f'(x) =3 x^{2} +2x, \quad \text{με} \quad f(1) =3.$

Λύση
Έχουμε ότι:

$\begin{align*} & f'(x) = 3x^{2}+2x\Rightarrow\\\\ &f'(x) = (x^{3})' +(x^{2})' \Rightarrow\\\\ &f'(x) = (x^{3} +x^{2})' \Rightarrow\\\\ &f(x) = x^{3} +x^{2} +c. \end{align*}$

Για $x =1$ έχουμε

$f(1) = 1^{3}+ 1^{2}+ c \Rightarrow f(1) = 2+ c.$

Αλλά απο υπόθεση έχουμε ότι $f(1) =3,$
άρα $3 =2+ c \Rightarrow c = 1,$ οπότε η ζητούμενη συνάρτηση είναι η

$f(x) = x^{3}+x^{2} +1.$

Παράδειγμα.2.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\rr\rightarrow \rr$ για την οποία ισχύει

$f(2)=5 \quad \text{και} \quad f'(x)=2x+3$

για κάθε $x\in\rr$ . Να βρείτε τον τύπο της $f.$

Λύση
Για κάθε $x\in\rr$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &f'(x)=2x+3 \Leftrightarrow\\ &f'(x)=(x^2+3x)' \Leftrightarrow\\ &f(x)=x^2+3x+c \end{align*}$

Όμως έχουμε:

$\begin{align*} &f(2)=5 \Leftrightarrow\\ &2^2+3\cdot2+c=5 \Leftrightarrow\\ &c=-5 \end{align*}$

Επομένως είναι:

$f(x)=x^2+3x-5$

Παράδειγμα.3.
Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης όταν ισχύει:

$f'(x) + 3 f(x) = 1 \quad \text{με} \quad f(0) = 0.$

Λύση
Επειδή ισχύει $3 = (3x)'$ έχουμε ότι

$\begin{align*} & f'(x) + 3 f(x) = 1 \Rightarrow\\\\ & f'(x) + (3x)'\cdot f(x) = 1\Rightarrow\\\\ & e^{3x} \cdot f'(x) + e^{3x} \cdot (3x)'\cdot f(x) = e^{3x}\Rightarrow\\\\ & e^{3x} \cdot f'(x) + \big(e^{3x}\big)' \cdot f(x) = e^{3x}\Rightarrow\\\\ &\Big( f(x)\cdot e^{3x} \Big)' = \Big(\dfrac{e^{3x}}{3}\Big)'\Rightarrow\\\\ & f(x)\cdot e^{3x} = \dfrac{e^{3x}}{3} + c. \quad (1.) \end{align*}$

Από υπόθεση έχουμε ότι $f(0) = 0,$ οπότε

$\begin{align*} (1.)\overset{x =0}{\Rightarrow}& f(0)\cdot e^{0} = \dfrac{e^{0}}{3} + c \Rightarrow\\\\ & 0 \cdot 1= \dfrac{1}{3} + c \Rightarrow\\\\ & 0 = \dfrac{1}{3} + c \Rightarrow\\\\ & c = -\dfrac{1}{3}. \quad (2.) \end{align*}$

Από τη σχέση $(1.)$ για $c =-\dfrac{1}{3}$ έχουμε:

$\begin{align*} & f(x)\cdot e^{3x} = \dfrac{e^{3x}}{3} -\dfrac{1}{3} \Rightarrow\\\\ & f(x)\cdot e^{3x} = \dfrac{e^{3x}-1}{3}\Rightarrow\\\\ & f(x) = \dfrac{e^{3x}-1}{3\cdot e^{3x}}. \end{align*}$

Από τον παραπάνω τρόπο επίλυσης μπορούμε να συμπεράνουμε:

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι:

Συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και

Ισχύει $f'(x)=f(x)$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$

τότε υπάρχει σταθερά $c\in\rr$ τέτοια ώστε για κάθε $x\in\Delta$ να ισχύει $f(x)=ce^x$ .

Παράδειγμα.4.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\rr\rightarrow \rr$ για την οποία ισχύει

$f(0)=3 \quad \text{και} \quad f'(x)-x^3=f(x)-3x^2$

για κάθε $x\in\rr$ . Να βρείτε τον τύπο της $f.$

Λύση
Για κάθε $x\in\rr$ ισχύει:

$\begin{align*} &f'(x)-x^3=f(x)-3x^2 \Leftrightarrow\\ &f'(x)+3x^2=f(x)+x^3 \Leftrightarrow\\ &(f(x)+x^3)'=f(x)+x^3 \end{align*}$

Δηλαδή για τη συνάρτηση

$g(x)=f(x)+x^3, \quad x\in\rr$

να ισχύει:

$g'(x)=g(x)$

Άρα υπάρχει σταθερά $c$ ώστε για κάθε $x\in\rr$ να ισχύει:

$\begin{align*} &g(x)=ce^x \Leftrightarrow\\ &f(x)+x^3=ce^x \Leftrightarrow\\ &f(x)=ce^x-x^3 \end{align*}$

Για $x=0$ έχουμε:

$\begin{align*} &f(0)=ce^0-0^3 \Leftrightarrow\\ &3=c \end{align*}$

Άρα για κάθε $x\in\rr$ είναι:

$\begin{align*} &f(x)+x^3=3e^x \Leftrightarrow\\ &f(x)=3e^x-x^3 \end{align*}$

Παράδειγμα.5.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\rr\rightarrow \rr$ για την οποία ισχύει,

$f(0)=-1 \quad \text{και} \quad 3f'(x)-15=5f(x),$

για κάθε $x\in\rr.$ Να βρείτε τον τύπο της $f.$

Λύση

Για κάθε $x\in\rr$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &3f'(x)-5f(x)=15 \Leftrightarrow\\\\ &f'(x)-\frac{5}{3}f(x)=5 \Leftrightarrow\\\\ &f'(x)+\Big(-\frac{5}{3}\cdot x\Big)'f(x)=5 \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}f'(x)+e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big(-\frac{5}{3}\cdot x\Big)'f(x)=5e^{^{-\frac{5}{3}x}} \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}f'(x)+e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big(-\frac{5}{3}\cdot x\Big)'f(x)=-3\cdot \big(-\dfrac{5}{3}\big)e^{^{-\frac{5}{3}x}} \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}f'(x)+e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big(-\frac{5}{3}\cdot x\Big)'f(x)=-3\cdot \big(-\dfrac{5}{3}\cdot x\big)'e^{^{-\frac{5}{3}x}} \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}f'(x)+e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big(-\frac{5}{3}\cdot x\Big)'f(x)=-3\cdot \big(e^{^{-\frac{5}{3}x}}\big)' \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}f'(x)+\Big(e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big)'f(x)= \big(-3\cdot e^{^{-\frac{5}{3}x}}\big)' \Leftrightarrow\\\\ &\Big(e^{^{-\frac{5}{3}x}}\cdot f(x)\Big)'=\Big(-3\cdot e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big)' \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}\cdot f(x)=-3\cdot e^{^{-\frac{5}{3}x}}+c \end{align*}$

Για $x=0$ έχουμε $f(0)=-1$ άρα

$\begin{align*} &e^{^{-\frac{5}{3}\cdot 0}}f(0)=-3e^{^{-\frac{5}{3}0}}+c \Leftrightarrow\\\\ &-1=-3+c \Leftrightarrow\\\\ &c=2 \end{align*}$

Άρα για κάθε $x\in\rr$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &e^{^{-\frac{5}{3}x}}\cdot f(x)=-3e^{^{-\frac{5}{3}x}}+2 \Leftrightarrow\\\\ &f(x)=2\cdot e^{^{\frac{5}{3}x}}-3. \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα. Παπακωσταντίνου αυτοέκδοση.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά