Γ Λυκείου,ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Έστω δύο συναρτήσεις f,g ορισμένες σε ένα διάστημα \Delta. Αν:

  • Οι f,g είναι συνεχείς στο \Delta και
  • f'(x)=g'(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta

    • Τότε υπάρχει σταθερά c τέτοιο ώστε για κάθε x\in\Delta να ισχύει:

        \[f(x)=g(x)+c\]


    Για τις ασκήσεις, οπου ζητείται ο προσδιορισμός του τύπου της συνάρτησης, από σχέση της μορφής

        \[f'(x)=g(x).\]

    για κάθε x\in\Delta όπου \Delta είναι διάστημα (και όχι ένωση διαστημάτων) και g είναι γνωστή συνάρτηση, τότε μπορούμε να βρούμε τον τύπο της f ως εξής:

  • Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση G της g, δηλαδή μια συνάρτηση G για την οποία ισχύει

        \[G'(x)=g(x)\]

  • Τότε για κάθε x\in\Delta ισχύει ότι:

    •     \begin{align*} &f'(x)=g(x) \Leftrightarrow\\ &f'(x)=G'(x) \Leftrightarrow\\ &f(x)=G(x)+c \end{align*}

    ισχύουν οι κανόνες αντιπαραγωγισης

    και οι μέθοδοι ευρέσως αρχικής συνάρτησης.
    Παράδειγμα.1.
    Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης όταν ισχύει:

        \[f'(x) =3 x^{2} +2x, \quad \text{με} \quad f(1) =3.\]

    Λύση
    Έχουμε ότι:

        \begin{align*} & f'(x) = 3x^{2}+2x\Rightarrow\\\\ &f'(x) = (x^{3})' +(x^{2})' \Rightarrow\\\\ &f'(x) = (x^{3} +x^{2})' \Rightarrow\\\\ &f(x) = x^{3} +x^{2} +c. \end{align*}

    Για x =1 έχουμε

        \[f(1) = 1^{3}+ 1^{2}+ c \Rightarrow f(1) = 2+ c.\]

    Αλλά απο υπόθεση έχουμε ότι f(1) =3,
    άρα 3 =2+ c \Rightarrow c = 1, οπότε η ζητούμενη συνάρτηση είναι η

        \[f(x) = x^{3}+x^{2} +1.\]

    Παράδειγμα.2.
    Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\rr\rightarrow \rr για την οποία ισχύει

        \[f(2)=5 \quad \text{και} \quad f'(x)=2x+3\]

    για κάθε x\in\rr. Να βρείτε τον τύπο της f.

    Λύση
    Για κάθε x\in\rr ισχύει ότι:

        \begin{align*} &f'(x)=2x+3 \Leftrightarrow\\ &f'(x)=(x^2+3x)' \Leftrightarrow\\ &f(x)=x^2+3x+c \end{align*}

    Όμως έχουμε:

        \begin{align*} &f(2)=5 \Leftrightarrow\\ &2^2+3\cdot2+c=5 \Leftrightarrow\\ &c=-5 \end{align*}

    Επομένως είναι:

        \[f(x)=x^2+3x-5\]

    Παράδειγμα.3.
    Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης όταν ισχύει:

        \[f'(x) + 3 f(x) = 1 \quad \text{με} \quad f(0) = 0.\]

    Λύση
    Επειδή ισχύει 3 = (3x)' έχουμε ότι

        \begin{align*} & f'(x) + 3 f(x) = 1 \Rightarrow\\\\ & f'(x) + (3x)'\cdot f(x) = 1\Rightarrow\\\\ & e^{3x} \cdot f'(x) + e^{3x} \cdot (3x)'\cdot f(x) = e^{3x}\Rightarrow\\\\ & e^{3x} \cdot f'(x) + \big(e^{3x}\big)' \cdot f(x) = e^{3x}\Rightarrow\\\\ &\Big( f(x)\cdot e^{3x} \Big)' = \Big(\dfrac{e^{3x}}{3}\Big)'\Rightarrow\\\\ & f(x)\cdot e^{3x} = \dfrac{e^{3x}}{3} + c. \quad (1.) \end{align*}

    Από υπόθεση έχουμε ότι f(0) = 0, οπότε

        \begin{align*} (1.)\overset{x =0}{\Rightarrow}& f(0)\cdot e^{0} = \dfrac{e^{0}}{3} + c \Rightarrow\\\\ & 0 \cdot 1= \dfrac{1}{3} + c \Rightarrow\\\\ & 0 = \dfrac{1}{3} + c \Rightarrow\\\\ & c = -\dfrac{1}{3}. \quad (2.) \end{align*}

    Από τη σχέση (1.) για c =-\dfrac{1}{3} έχουμε:

        \begin{align*} & f(x)\cdot e^{3x} = \dfrac{e^{3x}}{3} -\dfrac{1}{3} \Rightarrow\\\\ & f(x)\cdot e^{3x} = \dfrac{e^{3x}-1}{3}\Rightarrow\\\\ & f(x) = \dfrac{e^{3x}-1}{3\cdot e^{3x}}. \end{align*}

    Από τον παραπάνω τρόπο επίλυσης μπορούμε να συμπεράνουμε:

    Αν μια συνάρτηση f είναι:

  • Συνεχής σε ένα διάστημα \Delta και
  • Ισχύει f'(x)=f(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta

    • τότε υπάρχει σταθερά c\in\rr τέτοια ώστε για κάθε x\in\Delta να ισχύει f(x)=ce^x.

    Παράδειγμα.4.
    Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\rr\rightarrow \rr για την οποία ισχύει

        \[f(0)=3 \quad \text{και} \quad f'(x)-x^3=f(x)-3x^2\]

    για κάθε x\in\rr. Να βρείτε τον τύπο της f.

    Λύση
    Για κάθε x\in\rr ισχύει:

        \begin{align*} &f'(x)-x^3=f(x)-3x^2 \Leftrightarrow\\ &f'(x)+3x^2=f(x)+x^3 \Leftrightarrow\\ &(f(x)+x^3)'=f(x)+x^3 \end{align*}

    Δηλαδή για τη συνάρτηση

        \[g(x)=f(x)+x^3, \quad x\in\rr\]

    να ισχύει:

        \[g'(x)=g(x)\]

    Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε για κάθε x\in\rr να ισχύει:

        \begin{align*} &g(x)=ce^x \Leftrightarrow\\ &f(x)+x^3=ce^x \Leftrightarrow\\ &f(x)=ce^x-x^3 \end{align*}

    Για x=0 έχουμε:

        \begin{align*} &f(0)=ce^0-0^3 \Leftrightarrow\\ &3=c \end{align*}

    Άρα για κάθε x\in\rr είναι:

        \begin{align*} &f(x)+x^3=3e^x \Leftrightarrow\\ &f(x)=3e^x-x^3 \end{align*}

    Παράδειγμα.5.
    Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\rr\rightarrow \rr για την οποία ισχύει,

        \[f(0)=-1 \quad \text{και} \quad 3f'(x)-15=5f(x),\]

    για κάθε x\in\rr. Να βρείτε τον τύπο της f.

    Λύση

    Για κάθε x\in\rr ισχύει ότι:

        \begin{align*} &3f'(x)-5f(x)=15 \Leftrightarrow\\\\ &f'(x)-\frac{5}{3}f(x)=5 \Leftrightarrow\\\\ &f'(x)+\Big(-\frac{5}{3}\cdot x\Big)'f(x)=5 \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}f'(x)+e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big(-\frac{5}{3}\cdot x\Big)'f(x)=5e^{^{-\frac{5}{3}x}} \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}f'(x)+e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big(-\frac{5}{3}\cdot x\Big)'f(x)=-3\cdot \big(-\dfrac{5}{3}\big)e^{^{-\frac{5}{3}x}} \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}f'(x)+e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big(-\frac{5}{3}\cdot x\Big)'f(x)=-3\cdot \big(-\dfrac{5}{3}\cdot x\big)'e^{^{-\frac{5}{3}x}} \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}f'(x)+e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big(-\frac{5}{3}\cdot x\Big)'f(x)=-3\cdot \big(e^{^{-\frac{5}{3}x}}\big)' \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}f'(x)+\Big(e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big)'f(x)= \big(-3\cdot e^{^{-\frac{5}{3}x}}\big)' \Leftrightarrow\\\\ &\Big(e^{^{-\frac{5}{3}x}}\cdot f(x)\Big)'=\Big(-3\cdot e^{^{-\frac{5}{3}x}}\Big)' \Leftrightarrow\\\\ &e^{^{-\frac{5}{3}x}}\cdot f(x)=-3\cdot e^{^{-\frac{5}{3}x}}+c \end{align*}

    Για x=0 έχουμε f(0)=-1 άρα

        \begin{align*} &e^{^{-\frac{5}{3}\cdot 0}}f(0)=-3e^{^{-\frac{5}{3}0}}+c \Leftrightarrow\\\\ &-1=-3+c \Leftrightarrow\\\\ &c=2 \end{align*}

    Άρα για κάθε x\in\rr ισχύει ότι:

        \begin{align*} &e^{^{-\frac{5}{3}x}}\cdot f(x)=-3e^{^{-\frac{5}{3}x}}+2 \Leftrightarrow\\\\ &f(x)=2\cdot e^{^{\frac{5}{3}x}}-3. \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα. Παπακωσταντίνου αυτοέκδοση.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *