Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email
  • Αν μια συνάρτηση f: A\rightarrow\rr έχει ολικό ελάχιστο \mu>0 τότε ισχύει ότι f(x)>0 για κάθε x\in A.
  • Αν μια συνάρτηση f: A\rightarrow\rr έχει ολικό μέγιστο M<0 τότε ισχύει ότι f(x)<0 για κάθε x\in A.

    • Παράδειγμα.
    Δίνεται η συνάρτηση

        \[f(x)=2e^{x+1}-2x-3\]

    i.) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
    ii.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

        \[g(x)=2e^{x+1}-x^2-3x\]

    είναι γνησίως αύξουσα.
    Λύση
    i.) Η συνάρτηση

        \[f(x)=2e^{x+1}-2x-3\]

    έχει πεδίο ορισμού το \rr.
    Για κάθε x\in\rr είναι:

        \begin{align*} &f'(x)=(2e^{x+1}-2x-3)'\\ &f'(x)=2e^{x+1}-2\\ &f'(x)=2(e^{x+1}-1) \end{align*}

    Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου συνάρτησης.
    Έχουμε:

        \begin{align*} &f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ &e^{x+1}-1=0 \Leftrightarrow\\ &e^{x+1}=1 \Leftrightarrow\\ &e^{x+1}=e^0 \Leftrightarrow\\ &x+1=0 \Leftrightarrow\\ &x=-1 \end{align*}

    Βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου.

        \begin{align*} &f'(x)>0 \Leftrightarrow\\ &e^{x+1}-1<0 \Leftrightarrow\\ &e^{x+1}>1 \Leftrightarrow\\ &e^{x+1}>e^0 \Leftrightarrow\\ &x+1>0 \Leftrightarrow\\ &x>-1 \end{align*}

    επίσης

        \begin{align*} &f'(x)<0 \Leftrightarrow\\ &e^{x+1}-1<0 \Leftrightarrow\\ &e^{x+1}<1 \Leftrightarrow\\ &e^{x+1}<e^0 \Leftrightarrow\\ &x+1<0 \Leftrightarrow\\ &x<-1 \end{align*}

    Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

        \[ \begin{tabular}{r l c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $ } &{\tiny{$ -\infty$}}& & $-1$ & & \multicolumn{1}{r|}{{\quad\tiny{$ +\infty$}} } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f'$ } & & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f$ } & & $ \searrowtail$ & $ |$ & $ \nearrowtail$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline & & & O.E. & & \\ & & & $f(-1)=1$ & & \end{tabular}\\ \]

    Παρατηρούμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\infty,1] και γνησίως αύξουσα στο [-1,+\infty), ενώ παρουσιάζει στο x_{0}=-1 ολικό ελάχιστο το f(-1)=1.

    ii.) Η συνάρτηση

        \[g(x)=2e^{x+1}-x^2-3x\]

    έχει πεδίο ορισμού το \rr.
    Για κάθε x\in\rr είναι:

        \[g'(x)=2e^{x+1}-2x-3=f(x)\]

    Όμως η f έχει ολικό ελάχιστο το 1 για κάθε x\in\rr και ισχύει ότι:

        \[f(x)\geq1>0 \quad \text{άρα} \quad g'(x)>0\]

    Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα.

    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *