ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Κάθετα διανύσματα – Ορισμός και ιδιότητες εσωτερικού γινομένου}

Σε ασκήσεις που υπάρχει ως δεδομένο ή ως ζητούμενο ότι δύο μή μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα. χρησιμοποιούμε την ισοδυναμία:

$\vec{α} \perp \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{\beta} = 0.$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω ότι δύο μή μηδενικά διανύσματα $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ είναι κάθετα τότε θα ισχύει:

$(\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}})= \dfrac{\pi}{2}.$

Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου θα έχουμε:

$\begin{align*} \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} &= |\vec{\alpha}|\cdot |\vec{\beta}| \cdot \syn (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}})\\\\ &= |\vec{\alpha}|\cdot |\vec{\beta} |\cdot \syn \dfrac{\pi}{2}\\\\ &= |\vec{\alpha}|\cdot |\vec{\beta}| \cdot 0\\\\ &= 0 \end{align*}$

Άρα

$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =0.$

ΠΡΟΣΟΧΗ

Προσοχή στο αντίστροφο!!!
αν $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 0 ,$ τότε ή $\vec{\alpha}=\vec{0}$ ή $\vec{\beta} =\vec{0}$ ή $\vec{\alpha} {\Large{\bot} \vec{\beta}.$

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Τα διανύσματα $\vec{u}$ και $\vec{\nu}$ είναι κάθετα, αν και μόνο αν:

$\vec{u} \cdot \vec{\nu} = 0$

$(3\vec{\alpha} - \vec{\beta}) \cdot (\kappa \vec{\alpha} + 2 \vec{\beta}) = 0$

$3\kappa {\vec{\alpha}}^{2} + 6\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - \kappa \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 2 {\vec{\beta}}^2 = 0 \quad (1)$

Όμως ισχύουν:

$\begin{align*} & $\vec{α}^{2} = \lvert \vec{α} \rvert^{2} = 2^2 = 4\\\\ &\vec{\beta}^{2} = \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} = 3^2 = 9\\\\ &\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{3} \\\\ &= 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3. \end{align*}$