ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ X KAI Y

ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ X KAI Y

Εξισώσεις της μορφής

$\boldsymbol{A\mathrm{x}^{2} + B\mathrm{y}^{2} + \Gamma \mathrm{x}\mathrm{y} + \Delta\mathrm{x} + E\mathrm{y} + Z = 0}$

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής:

$A\mathrm{x}^{2} + B\mathrm{y}^{2} + \Gamma \mathrm{x}\mathrm{y} + \Delta\mathrm{x} + E\mathrm{y} + Z = 0$

παριστάνει δύο ευθείες, εργαζόμαστε ως εξής:
Θεωρούμε ότι η εξίσωση είναι τριώνυμο ως προς $\mathrm{x}$ (ή ως προς $\mathrm{y},$ ) δηλαδή:

$A\mathrm{x}^{2} + (\Gamma \mathrm{y} + \Delta)\mathrm{x}+ B\mathrm{y}^{2} + E\mathrm{y} + Z = 0$

Λύνουμε την παραπάνω εξίσωση και βρίσκουμε δύο σχέσεις ανάμεσα στα $\mathrm{x}$ και $\mathrm{y},$ οι οποίες είναι οι εξισώσεις των ζητούμενων ευθειών

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση γίνεται:

$\mathrm{x}^{2} - 2\mathrm{y}^{2} - \mathrm{x}\mathrm{y} - 3\mathrm{x} + 9\mathrm{y} - 4 = 0 \Leftrightarrow$

$\mathrm{x}^{2} - (\mathrm{y} + 3)\mathrm{x} - 2\mathrm{y}^{2} + 9\mathrm{y} - 4 =0$

Η προηγούμενη εξίσωση είναι 2ου βαθμού ως προς $\mathrm{x}$ με στοιχεία τριωνύμου:

$\alpha =1, \quad \beta = -(y+3), \quad \gamma = -2y^{2}+9y -4$

Οπότε η διακρίνουσα $\Delta:$

$\Delta = \beta^{2} - 4α\gamma =$

$(\mathrm{y} + 3)^{2} - 4(-2\mathrm{y}^{2} + 9\mathrm{y} - 4) =$

$\mathrm{y}^{2} + 6\mathrm{y} + 9 + 8\mathrm{y}^{2} - 36\mathrm{y} + 16 =$

$9\mathrm{y}^{2} - 30\mathrm{y} + 25 =$

$\big(3y\big)^{2}- 30\mathrm{y}+5^{2}=$

$\big(3y\big)^{2}- 2\cdot 3\cdot\mathrm{y}\cdot 5+5^{2}=$

$(3\mathrm{y} - 5)^{2}$

Επομένως είναι: $\Delta =(3\mathrm{y} - 5)^{2}.$
Άρα οι ρίζες είναι:

$\mathrm{x_{1,2}}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2 \alpha} \Leftrightarrow$

$\mathrm{x_{1,2}}=\frac{\mathrm{y}+3 \pm(3 \mathrm{y}-5)}{2} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{y+3+3 y-5}{2}} \\\\ $\qquad \text{ή }$ \\\\ {x=\dfrac{y+3-3 y+5}{2}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{4y-2}{2}} \\\\ $\qquad \text{ή }$ \\\\ {x=\dfrac{-2 y+8}{2}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{2\cdot(2y-1)}{2}} \\\\ $\qquad \text{ή }$ \\\\ {x=\dfrac{2\cdot(-y+4)}{2}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{x=2 y-1} \\\\ $\qquad \text{ή } $ \\\\ {x=-y+4}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{x-2 y+1=0} \\\\ $\qquad \text{ή } $ \\\\ {x+y-4=0}\end{array}\right\}$

Επομένως η εξίσωση παριστάνει τις ευθείες:

$(\epsilon_{1}): \mathrm{x} - 2\mathrm{y} + 1 = 0$

και

$(\epsilon_{2}): \mathrm{x} + \mathrm{y} - 4 = 0$

ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ X KAI Y

β)
Μπορούμε να εργαστούμε με τον ίδιο τρόπο ή πιο σύντομα με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου ως εξής:

$\mathrm{x}^{2} - \mathrm{y}^{2} - 6\mathrm{x} - 2\mathrm{y} + 8 = 0 \Leftrightarrow$

$\mathrm{x}^{2} - 6\mathrm{x} - \mathrm{y}^{2} - 2\mathrm{y} +8 = 0.$

Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου έχουμε:

$(\mathrm{x}^{2} - 6\mathrm{x}) - (\mathrm{y}^{2} + 2\mathrm{y}) +8 = 0 \Leftrightarrow$

$(\mathrm{x}^{2} - 2\cdot 3\mathrm{x}) - (\mathrm{y}^{2} + 2\cdot 1 \mathrm{y}) +8 = 0 \Leftrightarrow$

$(\mathrm{x}^{2} - 2\cdot 3\mathrm{x} +3^{2}-3^{2}) -( \mathrm{y}^{2} + 2\cdot 1 \mathrm{y}+1^{2}-1^{2}) +8 = 0 \Leftrightarrow$

$(\mathrm{x}^{2} - 2\cdot 3\mathrm{x} +3^{2} -9)- (\mathrm{y}^{2} + 2\cdot 1 \mathrm{y}+1^{2} - 1) +8 = 0 \Leftrightarrow$

$\Big[(\mathrm{x}-3)^{2} -9\Big]- \Big[(\mathrm{y}+1)^{2} - 1\Big] +8 = 0 \Leftrightarrow$

$(\mathrm{x}-3)^{2} -9- (\mathrm{y}+1)^{2} + 1 +8 = 0 \Leftrightarrow$

$(\mathrm{x} - 3)^{2} - (\mathrm{y} + 1)^{2} = 0$

Εφαρμόζοντας τη ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνου παίρνουμε:

$\Big[(\mathrm{x} - 3) - (\mathrm{y} + 1)\Big]\cdot \Big[(\mathrm{x} - 3) + (\mathrm{y} + 1)\Big] = 0 \Leftrightarrow$

$(\mathrm{x} - 3 - \mathrm{y} - 1)\cdot(\mathrm{x} - 3 + \mathrm{y} + 1) = 0 \Leftrightarrow$

$(\mathrm{x} - \mathrm{y} - 4)\cdot (\mathrm{x} + \mathrm{y} - 2) = 0 \Leftrightarrow$

$(\mathrm{x} - \mathrm{y} - 4 = 0\qquad \text{ή } \mathrm{x} + \mathrm{y} - 2 = 0)$

Επομένως η εξίσωση παριστάνει τις ευθείες:
$(\epsilon_{3}): \mathrm{x} - \mathrm{y} - 4 = 0$ και $(\epsilon_{4}): \mathrm{x} + \mathrm{y} - 2 = 0.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ X KAI Y

ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ X KAI Y

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά