ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Print Friendly, PDF & Email

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Η ευθεία με εξίσωση Α\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 είναι:

A) παράλληλη στο διάνυσμα \vec{\delta} = (B, -A),
B) κάθετη στο διάνυσμα \vec{n} = (A, B).
Απόδειξη
A)
\bullet Αν Β \neq 0, τότε:

->>> η ευθεία \epsilon: A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 έχει συντελστή διεύθυνσης: \lambda_{\epsilon} = -\dfrac{A}{B},
->>> το διάνυσμα \vec{\delta} = (B, -A) έχει συντελστή διεύθυνσης: \lambda_{\vec{\delta}} = -\dfrac{A}{B}.

\bulletΑν Β = 0, τότε η ευθεία \epsilon: A\mathrm{x + B\mathrm{y} + \Gamma = 0} είναι παράλληλη στον άξονα y'y και το διάνυσμα: \vec{\delta} = (B, -A) = (0, -Α) είναι επίσης παράλληλο στον άξονα y'y, οπότε ισχύει ότι \epsilon \parallel \vec{\delta}.

Επομένως σε κάθε περίπτωση η ευθεία \epsilon: A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα: \vec{\delta} = (B, -A).

B)

Για τα διανύσματα \vec{\delta} = (B, -A) και \vec{n} = (A, B) ισχύει ότι:

    \[\vec{\delta} \cdot \vec{n} = (B, -A) \cdot (A, B) = BA - AB = 0\]

Επομένως είναι \vec{\delta} \perp \vec{n}. Άρα και η ευθεία \epsilon: A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα \vec{n} = (A, B).

Σημείωση
Η ευθεία \epsilon: A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 είναι παράλληλη στα διανύσματα: \vec{\delta} = (B,-A) και \vec{\delta'} = (-B,A)

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Η ευθεία (\epsilon_{1}): (\lambda - 1)\mathrm{x} + \mathrm{y} + 8 = 0
έχει στοιχεία

    \[A_{1}=\lambda - 1, \quad B_{1}=\lambda, \quad \Gamma_{1}=8.\]

είναι παράλληλη στο διάνυσμα

    \[\vec{\delta_{1}} =(B_{1},-A_{1})\Rightarrow \vec{\delta_{1}} = (\lambda,1 - \lambda)\]

Η ευθεία (\epsilon_{2}): \lambda \mathrm{x} + 3\mathrm{y} + 1 - 2\lambda = 0
έχει στοιχεία

    \[A_{2}=\lambda, \quad B_{2}=3, \quad \Gamma_{2}=1 - 2\lambda.\]

είναι παράλληλη στο διάνυσμα

    \[\vec{\delta_{2}} =(-B_{2},A_{2})\Rightarrow\vec{\delta_{2}} = (-3, \lambda)\]

Μεθοδολογία
Όταν έχουμε δύο ευθείες \epsilon_{1} και \epsilon_{2} με παραμετρικές εξισώσεις και αναζητούμε την τιμή της παραμέτρου, ώστε να ισχύει \epsilon_{1} \perp \epsilon_{2} ή \epsilon_{1} \parallel \epsilon_{2}, τότε εργαζόμαστε ως εξής:

\bullet Θεωρούμε διανύσματα:\\
\vec{\delta_{1}} \parallel \epsilon_{1} και \vec{\delta_{2}} \parallel \epsilon_{2}
\bullet Έχουμε:

->>> \epsilon_{1} \perp \epsilon_{2} \Rightarrow \vec{\delta_{1}} \perp \vec{\delta_{2}} \Rightarrow \vec{\delta_{1}} \cdot \vec{\delta_{2}} = 0

->>>\epsilon_{1} \parallel \epsilon_{2} \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \parallel \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow det(\vec{\delta_{1}},\vec{\delta_{2}}) = 0
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

α) Έχουμε:

    \[\epsilon_{1} \perp \epsilon_{2} \Rightarrow \vec{\delta_{1}} \perp \vec{\delta_{2}} \Rightarrow\]

    \[\vec{\delta_{1}} \cdot \vec{\delta_{2}}=0\]

    \[x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2} =0\Rightarrow\]

    \[(\lambda, 1-\lambda) \cdot (-3, \lambda) = 0 \Rightarrow\]

    \[-3\lambda + (1 - \lambda)\lambda = 0 \Rightarrow\]

    \[-3\lambda + \lambda - \lambda^{2} = 0 \Rightarrow\]

    \[-\lambda^{2} - 2\lambda = 0 \Rightarrow\]

    \[-\lambda(\lambda + 2) = 0 \Rightarrow (\lambda = 0 \,\text{ ή }\,\lambda = -2)\]

β) Έχουμε:

    \[\epsilon_{1} \parallel \epsilon_{2} \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \parallel \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow\]

    \[det(\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta_{2}}) = 0 \Leftrightarrow\]

    \[\left|\begin{array}{cc}x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2}\end{array}\right|=0\]

    \[\left|\begin{array}{cc}{\lambda} & {1-\lambda} \\ {-3} & {\lambda}\end{array}\right|=0 \Leftrightarrow\]

    \[\lambda^{2}+3(1-\lambda)=0 \Leftrightarrow \lambda^{2}-3 \lambda+3=0.\]

Η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη, αφου η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι \Delta = (-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=-3<0. Άρα οι ευθείες \epsilon_{1} και \epsilon_{2} δεν είναι παράλληλες για καμία τιμή του \lambda \in \mathbb{R}.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *