ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ - ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Η ευθεία με εξίσωση $Α\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ είναι:

A) παράλληλη στο διάνυσμα $\vec{\delta} = (B, -A),$
B) κάθετη στο διάνυσμα $\vec{n} = (A, B).$
Απόδειξη
A)
$\bullet$ Αν $Β \neq 0,$ τότε:

$->>>$ η ευθεία $\epsilon: A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ έχει συντελστή διεύθυνσης: $\lambda_{\epsilon} = -\dfrac{A}{B},$
$->>>$ το διάνυσμα $\vec{\delta} = (B, -A)$ έχει συντελστή διεύθυνσης: $\lambda_{\vec{\delta}} = -\dfrac{A}{B}.$

$\bullet$ Αν $Β = 0,$ τότε η ευθεία $\epsilon: A\mathrm{x + B\mathrm{y} + \Gamma = 0}$ είναι παράλληλη στον άξονα $y'y$ και το διάνυσμα: $\vec{\delta} = (B, -A) = (0, -Α)$ είναι επίσης παράλληλο στον άξονα $y'y$ , οπότε ισχύει ότι $\epsilon \parallel \vec{\delta}.$

Επομένως σε κάθε περίπτωση η ευθεία $\epsilon: A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ είναι παράλληλη στο διάνυσμα: $\vec{\delta} = (B, -A).$

B)

Για τα διανύσματα $\vec{\delta} = (B, -A)$ και $\vec{n} = (A, B)$ ισχύει ότι:

$\vec{\delta} \cdot \vec{n} = (B, -A) \cdot (A, B) = BA - AB = 0$

Επομένως είναι $\vec{\delta} \perp \vec{n}.$ Άρα και η ευθεία $\epsilon: A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ είναι κάθετη στο διάνυσμα $\vec{n} = (A, B).$

Σημείωση
Η ευθεία $\epsilon: A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ είναι παράλληλη στα διανύσματα: $\vec{\delta} = (B,-A)$ και $\vec{\delta'} = (-B,A)$

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Η ευθεία $(\epsilon_{1}): (\lambda - 1)\mathrm{x} + \mathrm{y} + 8 = 0$
έχει στοιχεία

$A_{1}=\lambda - 1, \quad B_{1}=\lambda, \quad \Gamma_{1}=8.$

είναι παράλληλη στο διάνυσμα

$\vec{\delta_{1}} =(B_{1},-A_{1})\Rightarrow \vec{\delta_{1}} = (\lambda,1 - \lambda)$

Η ευθεία $(\epsilon_{2}): \lambda \mathrm{x} + 3\mathrm{y} + 1 - 2\lambda = 0$
έχει στοιχεία

$A_{2}=\lambda, \quad B_{2}=3, \quad \Gamma_{2}=1 - 2\lambda.$

είναι παράλληλη στο διάνυσμα

$\vec{\delta_{2}} =(-B_{2},A_{2})\Rightarrow\vec{\delta_{2}} = (-3, \lambda)$

Μεθοδολογία
Όταν έχουμε δύο ευθείες $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2}$ με παραμετρικές εξισώσεις και αναζητούμε την τιμή της παραμέτρου, ώστε να ισχύει $\epsilon_{1} \perp \epsilon_{2}$ ή $\epsilon_{1} \parallel \epsilon_{2},$ τότε εργαζόμαστε ως εξής:

$\bullet$ Θεωρούμε διανύσματα:\\
$\vec{\delta_{1}} \parallel \epsilon_{1}$ και $\vec{\delta_{2}} \parallel \epsilon_{2}$
$\bullet$ Έχουμε:

->>> $\epsilon_{1} \perp \epsilon_{2} \Rightarrow \vec{\delta_{1}} \perp \vec{\delta_{2}} \Rightarrow \vec{\delta_{1}} \cdot \vec{\delta_{2}} = 0$

->>> $\epsilon_{1} \parallel \epsilon_{2} \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \parallel \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow det(\vec{\delta_{1}},\vec{\delta_{2}}) = 0$

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

α) Έχουμε:

$\epsilon_{1} \perp \epsilon_{2} \Rightarrow \vec{\delta_{1}} \perp \vec{\delta_{2}} \Rightarrow$

$\vec{\delta_{1}} \cdot \vec{\delta_{2}}=0$

$x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2} =0\Rightarrow$

$(\lambda, 1-\lambda) \cdot (-3, \lambda) = 0 \Rightarrow$

$-3\lambda + (1 - \lambda)\lambda = 0 \Rightarrow$

$-3\lambda + \lambda - \lambda^{2} = 0 \Rightarrow$

$-\lambda^{2} - 2\lambda = 0 \Rightarrow$

$-\lambda(\lambda + 2) = 0 \Rightarrow (\lambda = 0 \,\text{ ή }\,\lambda = -2)$

β) Έχουμε:

$\epsilon_{1} \parallel \epsilon_{2} \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \parallel \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow$

$det(\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta_{2}}) = 0 \Leftrightarrow$

$\left|\begin{array}{cc}x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2}\end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{cc}{\lambda} & {1-\lambda} \\ {-3} & {\lambda}\end{array}\right|=0 \Leftrightarrow$

$\lambda^{2}+3(1-\lambda)=0 \Leftrightarrow \lambda^{2}-3 \lambda+3=0.$

Η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη, αφου η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $\Delta = (-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=-3<0.$ Άρα οι ευθείες $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2}$ δεν είναι παράλληλες για καμία τιμή του $\lambda \in \mathbb{R}.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

->>> $\epsilon_{1} \parallel \epsilon_{2} \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \parallel \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow det(\vec{\delta_{1}},\vec{\delta_{2}}) = 0$

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά