Β Λυκείου / Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ Η Ψ=Χ

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο \mathbb{A} = \mathbb{R}.
1) Για κάθε x \in \mathbb{R}, είναι:

    \begin{eqnarray*} f(-x) &=& (-x)^2 \cdot \big(\eta\mu(-x)\big)^2 \\ &=& x^2 (-\eta\mu x)^2 \\ &=& x^2 \eta\mu^2 x \\ &=& f(x) \end{eqnarray*}

Άρα η f είναι άρτια.
2) Για κάθε x \in \mathbb{R}, έχουμε f(x) = x^2 \eta\mu^2 x \geq 0 = f(0).
Άρα η f έχει ελάχιστο το 0.
Έχουμε:

    \begin{eqnarray*} f(x) = 0 &\Leftrightarrow& x^2\eta\mu^2x = 0 \\ &\Leftrightarrow& x = 0 ~\text{ή} ~x = \kappa\pi \\ &\Leftrightarrow& x = \kappa\pi, ~\kappa \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}

Άρα οι θέσεις ολικών ακροτάτων είναι x = \kappa\pi, ~\kappa \in \mathbb{Z}
3) Έχουμε:

    \begin{eqnarray*} f(x) = x^2 &\Leftrightarrow& x^2 \eta\mu^2x = x^2 \\ &\Leftrightarrow& x^2(1 - \eta\mu^2 x) = 0 \\ &\Leftrightarrow& x^2 \sigma\upsilon\nu^2 x = 0 \\ &\Leftrightarrow& x = 0 ~\text{ή} ~\sigma\upsilon\nu x = 0 \\ &\Leftrightarrow& x = 0 ~\text{ή} ~x = \kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}, ~\kappa \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}

Άρα τα κοινά σημεία της C_f με την παραβολή y = x^2 είναι το σημείο O(0, 0) και τα σημεία Α_{\kappa}\bigg(\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}, \bigg(\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}\bigg)^2\bigg), ~\kappa \in \mathbb{Z}.

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

4) Για κάθε x \in \mathbb{R}, έχουμε:

    \begin{eqnarray*} &f(x) = x^2 \eta\mu^2 x \leq x^2 \cdot 1 = x^2 ~\text{και} ~f(x) \geq 0 \end{eqnarray*}

Άρα 0 \leq f(x) \leq x^2, ~\forall x \in \mathbb{R}.
5) Αν x_1. x_2 \in \bigg[0, \dfrac{\pi}{2}\bigg) και 0 \leq x_1 < x_2, έχουμε:
\bullet 0 \leq x_1^2 < x_2^2
\bullet 0 \leq \eta\mu x_1 < \eta\mu x_2 \Rightarrow \eta\mu^2 x_1 < \eta\mu^2 x_2

Άρα x_1^2 \eta\mu^2 x_1 < x_2^2 \eta\mu^2 x_2, επομένως f(x_1) < f(x_2). \\[3mm]
Οπότε f \downarrowtail \bigg(-\dfrac{\pi}{2}, 0\bigg] και επειδή η f είναι άρτια έχουμε f \uparrowtail \bigg[0, \dfrac{\pi}{2}\bigg).
Η C_f φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

Βιβλιογραφία:

Μπάρλας, Άλγεβρα β. Λυκείου, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *