ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Η $f$ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο $\mathbb{A} = \mathbb{R}.$
1) Για κάθε $x \in \mathbb{R},$ είναι:

$\begin{eqnarray*} f(-x) &=& (-x)^2 \cdot \big(\eta\mu(-x)\big)^2 \\ &=& x^2 (-\eta\mu x)^2 \\ &=& x^2 \eta\mu^2 x \\ &=& f(x) \end{eqnarray*}$

Άρα η $f$ είναι άρτια.
2) Για κάθε $x \in \mathbb{R},$ έχουμε $f(x) = x^2 \eta\mu^2 x \geq 0 = f(0).$
Άρα η $f$ έχει ελάχιστο το $0.$
Έχουμε:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 &\Leftrightarrow& x^2\eta\mu^2x = 0 \\ &\Leftrightarrow& x = 0 ~\text{ή} ~x = \kappa\pi \\ &\Leftrightarrow& x = \kappa\pi, ~\kappa \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Άρα οι θέσεις ολικών ακροτάτων είναι $x = \kappa\pi, ~\kappa \in \mathbb{Z}$
3) Έχουμε:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 &\Leftrightarrow& x^2 \eta\mu^2x = x^2 \\ &\Leftrightarrow& x^2(1 - \eta\mu^2 x) = 0 \\ &\Leftrightarrow& x^2 \sigma\upsilon\nu^2 x = 0 \\ &\Leftrightarrow& x = 0 ~\text{ή} ~\sigma\upsilon\nu x = 0 \\ &\Leftrightarrow& x = 0 ~\text{ή} ~x = \kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}, ~\kappa \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Άρα τα κοινά σημεία της $C_f$ με την παραβολή $y = x^2$ είναι το σημείο $O(0, 0)$ και τα σημεία $Α_{\kappa}\bigg(\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}, \bigg(\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}\bigg)^2\bigg), ~\kappa \in \mathbb{Z}.$

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

4) Για κάθε $x \in \mathbb{R},$ έχουμε:

$\begin{eqnarray*} &f(x) = x^2 \eta\mu^2 x \leq x^2 \cdot 1 = x^2 ~\text{και} ~f(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Άρα $0 \leq f(x) \leq x^2, ~\forall x \in \mathbb{R}.$
5) Αν $x_1. x_2 \in \bigg[0, \dfrac{\pi}{2}\bigg)$ και $0 \leq x_1 < x_2,$ έχουμε:
$\bullet 0 \leq x_1^2 < x_2^2$
$\bullet 0 \leq \eta\mu x_1 < \eta\mu x_2 \Rightarrow \eta\mu^2 x_1 < \eta\mu^2 x_2$

Άρα $x_1^2 \eta\mu^2 x_1 < x_2^2 \eta\mu^2 x_2,$ επομένως $f(x_1) < f(x_2).$ \\[3mm]
Οπότε $f \downarrowtail \bigg(-\dfrac{\pi}{2}, 0\bigg]$ και επειδή η $f$ είναι άρτια έχουμε $f \uparrowtail \bigg[0, \dfrac{\pi}{2}\bigg).$
Η $C_f$ φαίνεται στο επόμενο σχήμα.