Β Λυκείου / Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ Η Ψ=Χ

ΤΟ ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΑΙ Η ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΠΡΩΤΟΥ ΤΡΙΤΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΟ ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΑΙ Η ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΠΡΩΤΟΥ ΤΡΙΤΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Έστω οι βασικές συναρτήσεις: \phi(x) = x και g(x) = \eta\mu x.
Είναι f(x) = \phi(x) + g(x).
Η C_f προκύπτει από τη C_{\phi}, αφού μετατοπίσουμε προς τα πάνω κάθε σημείο M(x, y) της C_{\phi} κατά g(x) μονάδες, όταν g(x) > 0 και προς τα κάτω κατά |g(x)| μονάδες όταν g(x) < 0.
Η C_f φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
1) Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο \mathbb{A} = \mathbb{R}.
Για κάθε x \in \mathbb{A}, έχουμε f(-x) = -x \cdot \eta\mu (-x) = f(x). Άρα η f είναι άρτια.
2) Είναι:
\bullet

    \begin{eqnarray*} f(x) = 0 &\Leftrightarrow& x \eta\mu x = 0 \\ &\Leftrightarrow& x = 0 \end{eqnarray*}

Επομένως: \eta\mu x = 0 \Leftrightarrow x = 0 ή x = \kappa\pi \Leftrightarrow x = \kappa\pi, ~\kappa \in \mathbb{Z}. \\
Άρα η C_f τέμνει τον άξονα x'x στα σημεία A_{\kappa}(\kappa\pi, 0). ~\kappa \in \mathbb{Z}.

ΤΟ ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΑΙ Η ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΠΡΩΤΟΥ ΤΡΙΤΟΥ

\bullet
\star

    \begin{eqnarray*} f(x) = x &\Leftrightarrow& x\eta\mu x = x \\ &\Leftrightarrow& x(\eta\mu x - 1) = 0 \\ &\Leftrightarrow& x = 0 \text{ή} \eta\mu x = 1 \\ &\Leftrightarrow& x = 0 \text{ή} x = 2\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}, ~\kappa \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}

Άρα τα κοινά σημεία της C_f με την ευθεία y = x είναι το Ο(0, 0) και τα σημεία B_{\kappa}(2\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}, 2\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}), ~\kappa \in \mathbb{Z}.
\star Όμοια βρίσκουμε ότι τα κοινά σημεία της C_f με την ευθεία y = -x είναι το Ο(0, 0) και τα σημεία \Gamma_{\kappa}(2\kappa\pi - \dfrac{\pi}{2}, -2\kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}), ~\kappa \in \mathbb{Z}.

3) Για κάθε x \in \mathbb{R}, έχουμε:

    \begin{eqnarray*} |f(x)| &=& |x \eta\mu x| \\ &=& |x| \cdot |\eta\mu x| \leq |x| \cdot 1 = |x| \end{eqnarray*}

Άρα -|x| \leq f(x) \leq |x|, ~\forall x \in \mathbb{R} ~(1)
Οι ισότητες στην (1) ισχύουν όταν x = 0 ή x = \kappa\pi + \dfrac{\pi}{2}, ~\kappa \in \mathbb{Z}, δηλαδή στις θέσεις ολικών ακροτάτων της f στα διαστήματα:
[2\kappa\pi, 2\kappa\pi + \pi], ~\kappa \in \mathbb{Z}.
4) Έστω x_1, x_2 \in \bigg[0, \dfrac{\pi}{2}\bigg) και 0 \leq x_1 < x_2.
Είναι 0 \leq \eta\mu x_1 < \eta\mu x_2.
Άρα x_1 \eta\mu x_1 < x_2 \eta\mu x_2, οπότε f(x_1) < f(x_2).
Επομένως f \uparrow \bigg[0, \dfrac{\pi}{2}\bigg).\\[3mm]
Από τη σχέση (1) η C_f περιβάλλεται από τις ευθείες y = x και y = -x.
H C_f φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Βιβλιογραφία:

Μπάρλας, Άλγεβρα β. Λυκείου, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *