Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email
  • Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρίγωνο \overset{\triangle}{ΑB\Gamma} διάμεσος ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.
  • Είναι προφανές ότι σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά

.

  • Οι 3 διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από κοινό σημείο τομής G το οποίο ονομάζεται βαρύκεντρο
  • Το κέντρο βάρους G ενός τριγώνου απέχει από την κάθε κορυφή τα \dfrac{2}{3} του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου.

Συντεταγμένες κέντρου βάρους τριγώνου

Έστω G(x,y) το κέντρο βάρους τριγώνου ΑΒΓ με Α(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1), B(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) και \Gamma(\mathrm{x}_3,\mathrm{y}_3). Ισχύει ότι:

    \[\mathrm{x}=\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2+\mathrm{x}_3}{3}\]

και

    \[\mathrm{y}=\frac{\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2+\mathrm{y}_3}{3}\]

Απόδειξη
Θεωρούμε ως σημείο αναφοράς την αρχή των αξόνων Ο(0,0).
Αν G το βαρύκεντρο το τριγώνου με συντεταγμένες G(x,y) τότε έχουμε \overrightarrow{OG}=(\mathrm{x},\mathrm{y}), ~\overrightarrow{OA}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1), ~\overrightarrow{OB}=(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) και \overrightarrow{O\Gamma}=(\mathrm{x}_3,\mathrm{y}_3). Όμως ισχύει ότι:

    \begin{align*} &\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O\Gamma} \right) \Leftrightarrow \\\\ &(\mathrm{x,y})=\frac{1}{3}\left[(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)+(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2)+(\mathrm{x}_3,\mathrm{y}_3) \right] \Leftrightarrow\\\\ &(\mathrm{x,y})=\frac{1}{3}(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2+\mathrm{x}_3, \mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2+\mathrm{y}_3) \Leftrightarrow \\\\ &(\mathrm{x,y})=\left(\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2+\mathrm{x}_3}{3}, \frac{\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2+\mathrm{y}_3}{3}\right). \end{align*}

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Για τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους G του τριγώνου ΑΒΓ ισχύει:

    \begin{align*} &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}_{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{x}_{\mathrm{B}}+\mathrm{x}_{\Gamma}}{3}} \\\\ {\mathrm{y}_{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{A}}+\mathrm{y}_{\mathrm{B}}+\mathrm{y}_{\Gamma}}{3}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{3 \mathrm{x}_{\mathrm{G}}=\mathrm{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{x}_{\mathrm{B}}+\mathrm{x}_{\mathrm{r}}} \\\\ {3 \mathrm{y}_{\mathrm{G}}=\mathrm{y}_{\mathrm{A}}+\mathrm{y}_{\mathrm{B}}+\mathrm{y}_{\Gamma}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\\\\ & \left\{\begin{array}{c}{3 \cdot 2=\lambda+\mu-2 \mu} \\\\ {3(-1)=\mu+1+2 \lambda-\mu+\mu-\lambda}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{ll}{\lambda-\mu=6} & {(1)} \\ {\lambda+\mu=-4} & {(2)}\end{array}\right. \end{align*}

Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις (1) και (2) και προκύπτει:
2 \lambda =2 \Leftrightarrow \lambda = 1
Αρα (1)~\Leftrightarrow 1-\mu = 6 \Leftrightarrow \mu = -5.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα. .
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *