Όλα τα άρθρα του/της Νίκος Διακόπουλος

https://www.linkedin.com/profile/view?id=AAMAAAjBCJMB6EeshfR3d4vb9v_yKk9oDICTDoo&authType=&authToken=&trk=mp-allpost-aut-name
Γ Λυκείου / ΚΑΝΟΝΕΣ DE L' HOSPITAL

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΠΡΟΣ ΑΠΕΙΡΟ

Σχολιάστε

Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty και \displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=+\infty με x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\}

και υπάρχει το \displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} πεπερασμένο ή άπειρο τότε:

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΠΡΟΣ ΑΠΕΙΡΟ →

Γ Λυκείου / ΚΑΝΟΝΕΣ DE L' HOSPITAL

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΠΡΟΣ ΜΗΔΕΝ

Σχολιάστε

Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=0 και \displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=0
όπου x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\} και υπάρχει το όριο \displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} πεπερασμένο ή άπειρο τότε:

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΠΡΟΣ ΜΗΔΕΝ →

Γ Λυκείου / ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2 σχόλια

Η ευθεία y=4x+2 είναι πλάγια ασύμπτωτη στο +\infty της C_f. Να βρεθούν τα όρια

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2f(x)-4x^3}{xf(x)-2010} \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)(x+1)-4x^2}{3x-2010}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}, \quad \alpha,\beta\in\rr\]

Να βρείτε τις τιμές των \alpha και \beta, ώστε η ευθεία (\epsilon): y=2x-1 είναι ασύμπτωτη της C_f στο +\infty.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e^x\hm x+2010. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, C_f, έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -\infty και ότι η γραφική παράσταση C_f τέμνει τη παραπάνω ασύμπτωτη σε άπειρα σημεία.
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Η ευθεία y=\lambda x+\beta είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +\infty αν και μόνο αν:

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda\in\rr \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}[f(x)-\lambda x]=\beta\in\rr\]

αντιστοίχως στο -\infty

    \[\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda\in\rr \quad \text{και} \quad \lim_{x \to -\infty}[f(x)-\lambda x]=\beta\in\rr\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Σχολιάστε

    \[\text{Αν\,\,}\lim_{x \to +\infty}f(x)=l\in\rr \,\,\text{αντιστοίχως} \quad \lim_{x \to -\infty}f(x)=l\in\rr,\]

τότε η ευθεία y=l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +\infty, αντίστοιχα στο -\infty.

  • Μια συνάρτηση έχει το πολύ δύο οριζόντιες ασύμπτωτες, μία στο -\infty και μία στο +\infty.
  • Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε διαστήματα της μορφής (-\infty,\alpha), (\beta,+\infty), τότε για να βρούμε (αν υπάρχουν) τις οριζόντιες ασύμπτωτες της C_f, υπολογίζουμε τα όρια

        \[\lim_{x \to -\infty}f(x) \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}f(x)\]

    Αν κάποιο από τα παραπάνω όρια είναι ίσο με l\in\rr, τότε η ευθεία y=l είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C_f στο -\infty ή στο +\infty αντίστοιχα.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ →

    Γ Λυκείου / ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

    ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    Αν ένα τουλάχιστον απο τα όρια

        \[\lim_{x \to x_0^+}f(x), \quad \lim_{x \to x_0^-}f(x)\]

    είναι +\infty \quad \text{ή} \quad -\infty, τότε η ευθεία

        \[x=x_0\]

    λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

    ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

    Σχολιάστε
  • Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα \Delta και (\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta είναι η εφαπτομένη της C_f σε ένα σημείο της M(x_0,f(x_0), με x_0\in\Delta, τότε η C_f βρίσκεται πάνω από την (\epsilon), με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε x\in\Delta ισχύει ότι

        \[f(x)\geq \alpha x+\beta.\]

  • Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα \Delta και (\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta είναι η εφαπτομένη της C_f σε ένα σημείο της M(x_0,f(x_0), με x_0\in\Delta, τότε η C_f βρίσκεται κάτω από την (\epsilon), με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε x\in\Delta ισχύει ότι

        \[f(x)\leq \alpha x+\beta.\]

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ →