Αρχείο κατηγορίας Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Σχολιάστε

    \section{\greektext Μέτρο διανύσματος} Αν $\vec{α}=(\mathrm{x,y})$ ένα διάνυσμα του Καρτεσιανού επιπέδου, \\τότε το μέτρο του διανύσματος $\vec{α}$ δίνεται από τον τύπο: $$|\vec{α}|=\sqrt{\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2}$$ \textbf{Απόδειξη}\\ Θεωρούμε σημείο $Α$ με διανυσματική ακτίνα:\\ $$\overrightarrow{OA}=\vec{α}=(\mathrm{x,y})$$

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ

Σχολιάστε

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ
Η απόσταση των σημείων A(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και B(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) του Καρτεσιανού επιπέδου είναι ίση με:

    \[AB=\sqrt{{(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1)}^2+{(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)}^2}\]

Απόδειξη

Η απόσταση δύο σημείων AB είνα ίση με το μέτρο του διανύσματος που ορίζουν.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ – ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ

Σχολιάστε

\textbf{Ορίζουσα διανυσμάτων}\\ Έστω $\vec{α}=(\mathrm{x_1},\mathrm{y_1})$ και $\vec{\beta}=(x_{2},y_{2}) $ δύο διανύσματα του Καρτεσιανού επιπέδου. Η ορίζουσα: \begin{center} $\left|\begin{array}{ll}{\mathrm{x}_1} & {\mathrm{y}_1} \\ {\mathrm{x}_2} & {\mathrm{y}_2}\end{array}\right|$ \end{center} που έχει ως πρώτη γραμμή τις συντεταγμένες του $\vec{\alpha}$ και δεύτερη γραμμή τις συντεταγμένες του $\vec{\beta},$ λέγεται \textbf{ορίζουσα των διανυσμάτων} $\vec{\boldsymbol{\alpha}}$ \textbf{και} $\vec{\boldsymbol{\beta}}$ και συμβολίζεται με \textbf{\latintext{det}($\vec{\boldsymbol{\alpha}}$,$\vec{\boldsymbol{\beta}}.$)} Είναι δηλαδή:\\ \begin{center} $det(\vec{\alpha}, \vec{\beta})=\left|\begin{array}{ll}{\mathrm{x}_1} & {\mathrm{y}_1} \\ {\mathrm{x}_2} & {\mathrm{y}_2}\end{array}\right|=\mathrm{x}_1 \mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1 \mathrm{x}_2$ \end{center}
Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ – ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

Σχολιάστε


Για να εξετάσουμε τρια σημεία οτι είναι συνευθειακά θα πρεπει να οριζουν δυο διανύσματα παράλληλα οπότε η ορίζουσα των συντεταγμένων τους να ειναι μηδεν

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΓΩΝΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΤΕΤΜΗΜΕΝΩΝ

Σχολιάστε

\textbf{Γωνία διανύσματος με τον άξονα $\textbf{\latintext{x'x}}$}\\ Έστω $\vec{α}=(\mathrm{x,y})$ ένα \textbf{μη μηδενικό} διάνυσμα και σημείο $Α$ τέτοιο, ώστε $\overrightarrow{OA}=\vec{α}.$ Η γωνία $\omega$ που διαγράφει ο ημιάξονας $Ox$ όταν περιστραφεί γύρω από το $O$ κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία $OA$ για πρώτη φορά, ονομάζεται \textbf{γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα $\vec{\boldsymbol{α}}$ με τον άξονα} $\boldsymbol{x'x}.$\\ Από τον ορισμό της γωνίας $\omega$ διανύσματος με τον άξονα $x'x$ προκύπτει ότι: \begin{center} $0 \leq \omega \leq 2\cdot\pi$ \end{center}
Συνέχεια ανάγνωσης ΓΩΝΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΤΕΤΜΗΜΕΝΩΝ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ (ΑΣΚΗΣΕΙΣ)

Σχολιάστε

  • Έστω \vec{\nu}=(\mathrm{x},\mathrm{y}) ένα διάνυσμα με \mathrm{x}, \mathrm{y} \neq 0. Για να βρούμε τη γωνία \omega που σχηματίζει το \vec{\nu} με τον άξονα x'x, εργαζόμαστε ως εξής:

    • Βρίσκουμε την \epsilon\phi\omega=\dfrac{y}{x}.
    Εντοπίζουμε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά της \omega.

      αν \mathrm{x}>0 και \mathrm{y}>0, τότε 0 < \omega < \frac{\pi}{2}
      αν \mathrm{x}<0 και \mathrm{y}>0, τότε \frac{\pi}{2} < \omega < \pi
      αν \mathrm{x}<0 και \mathrm{y}<0, τότε \pi < \omega < \frac{3\pi}{2}
      αν \mathrm{x}>0 και \mathrm{y}<0, τότε \frac{3\pi}{2} < \omega < 2\pi
  • `Ενα διάνυσμα της μορφής \vec{\nu}=(\mathrm{x},0) είναι παράλληλο στον άξονα x'x και σχηματίζει με αυτόν γωνία:
      • 0, αν \mathrm{x}>0
      \pi, αν \mathrm{x}<0
  • `Ενα διάνυσμα της μορφής \vec{\nu}=(0,\mathrm{y}) είναι κάθετο στον άξονα x'x και σχηματίζει με αυτόν γωνία:
      • \frac{\pi}{2}, αν \mathrm{y}>0
      \frac{3\pi}{2}, αν \mathrm{y}<0

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ (ΑΣΚΗΣΕΙΣ) →

    Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

    Επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων με τη βοήθεια συντεταγμένων

    Σχολιάστε

    Ορισμένα προβλήματα γεωμετρίας μπορούν να λυθούν πιο εύκολα με τη βοήθεια των συντεταγμένων. Εργαζόμαστε ως εξής:

  • Τοποθετούμε το σχήμα σε κατάλληλο σύστημα αξόνων, ώστε να προκύψουν όσο το δυαντόν περισσότερα σημεία με τεταγμένες ή τετμημένες μηδέν και όσο το δυνατόν λιγότερα σημεία με άγνωστες συντεταγμένες.
  • Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των κορυφών του σχήματος.
  • Εκφράζουμε τα διανυσματικά δεδομένα με τη βοήθεια συντεταγμένων και το πρόβλημα γίνεται ((αλγεβρικό)).


    • Συνέχεια ανάγνωσης Επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων με τη βοήθεια συντεταγμένων →

    Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

    ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΜΕΣΟΥ

    Σχολιάστε

    Οι περισσότερες ασκήσεις με διανυσματικές σχέσεις μπορούν να λυθούν με τη μέθοδο των διανυσματικών ακτίνων.

  • Όταν θέλω πρόσθεση έχω το ίδιο μεσαίο σημείο

        \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} +\overrightarrow{OB}\]

  • Όταν θέλω αφαίρεση έχω το ίδιο αρχικό σημείο

        \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OB}\]

    Δηλαδή όταν ένα διάνυσμα πρέπει να αναλυθεί:

    Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΜΕΣΟΥ →

    • Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ, Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΜΕΤΡΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

    ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

    1 σχόλιο

        \[\Big| |\overrightarrow{\gra}|-| \overrightarrow{\grb} |\Big| \leq |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} | \leq | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}|\]

    Όταν έχουμε να συνδυάσουμε σε μια άσκηση ανισοτικές σχέσεις με διανύσματα και παραλληλία, με ομόρροπα και αντίρροπα διανύσματα, χρησιμοποιώ τις παρακάτω ειδικές περιπτώσεις:

        \[\bullet \quad \Big||\overrightarrow{\gra}|-| \overrightarrow{\grb} |\Big| = |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} | \text{ αν-ν } \ \overrightarrow{\gra} \nearrow \swarrow \overrightarrow{\grb}\]

        \[\bullet \quad |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} | = | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}| \ \text{ αν-ν } \ \overrightarrow{\gra} \nearrow \nearrow \overrightarrow{\grb}\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ →

    Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ, Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

    ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

    Σχολιάστε

    Παράδειγμα.1.
    Δίνονται 3 μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ και τα διανύσματα

        \[\overrightarrow{\Gamma\Delta}=\overrightarrow{BA} \ \text{και} \ \overrightarrow{B \Epsilon}=\overrightarrow{A\Gamma},\]

    να αποδείξετε ότι το \Gamma είναι μέσο του \Delta\Epsilon.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ →