ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

$\Big| |\overrightarrow{\gra}|-| \overrightarrow{\grb} |\Big| \leq |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} | \leq | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}|$

Όταν έχουμε να συνδυάσουμε σε μια άσκηση ανισοτικές σχέσεις με διανύσματα και παραλληλία, με ομόρροπα και αντίρροπα διανύσματα, χρησιμοποιώ τις παρακάτω ειδικές περιπτώσεις:

$\bullet \quad \Big||\overrightarrow{\gra}|-| \overrightarrow{\grb} |\Big| = |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} | \text{ αν-ν } \ \overrightarrow{\gra} \nearrow \swarrow \overrightarrow{\grb}$

$\bullet \quad |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} | = | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}| \ \text{ αν-ν } \ \overrightarrow{\gra} \nearrow \nearrow \overrightarrow{\grb}$

Παράδειγμα.1

Αν ισχύει ότι: $|\overrightarrow{\gra}|=\dfrac{2}{3}, \ |\overrightarrow{\grb}|=\dfrac{1}{3} \ \text{και} \ |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb}|\geq 1,$ να δείξετε ότι τα διανύσματα $\overrightarrow{\gra}\nearrow \nearrow \overrightarrow{\grb}.$

Λύση

Από υπόθεση έχουμε ότι

$|\overrightarrow{\gra}|+|\overrightarrow{\grb}|=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1 \quad \text {και} \quad 1\leq|\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb}|$

οπότε

$|\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb}|\geq|\overrightarrow{\gra}|+|\overrightarrow{\grb}|. \quad (1.)$

Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι

$|\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} | \leq | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}| \quad (2.)$

Άρα από $(1), (2)$ έχουμε ότι: $|\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} | = | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}|$
οπότε $\overrightarrow{\gra}\nearrow \nearrow \overrightarrow{\grb}.$

Επιμέλεια: Γ. Αποστόλου Μαθηματικός. www.apgm.gr

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Μία απάντηση στο “ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ”

πολυ καλη δουλεια συναδελφε!!

Απάντηση

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30