Αρχείο κατηγορίας Γ Λυκείου

Γ Λυκείου / ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΙΚΛΑΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Σχολιάστε

Παράδειγμα.2
Δίνονται οι συναρτήσεις

    \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x-2, \quad x \leq 0$ \\ $x+2, \quad x>0$ \\ \end{tabular} \right. \]

και

    \[g(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $1-x, \quad x<1$ \\ $2-x, \quad x \geq 1$ \\ \end{tabular} \right. \]

Να ορίσετε τη f \circ g.
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΙΚΛΑΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

Γ Λυκείου / ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Σχολιάστε

ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Έστω f και g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A_{f} και A_{g} αντίστοιχα. Αν ισχύει f(A)\cap A_{g} \notin \emptyset, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με τη g και τη συμβολίζουμε με g \circ f τη συνάρτηση που έχει:

  • Πεδίο ορισμού το σύνολο A_{g \circ f}=\{x\in A_{f} \quad / \quad f(x) \in A_{g}\}
  • Και τύπο (g \circ f)(x)=g(f(x)).

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

Γ Λυκείου / ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1 σχόλιο

Έστω δύο συναρτήσεις f,g με πεδία ορισμού A και B αντίστοιχα. Τότε οι πράξεις του αθροίσματος, διαφοράς, γινόμενου και πηλίκου ορίζονται ως εξής:

  • S(x)=f(x)+g(x), για x \in A\cap B (Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • D(x)=f(x)-g(x), για x \in A\cap B (Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • P(x)=f(x)\cdot g(x), για \quad x \in A\cap B(Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • R(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}, για \{x \in A\cap B \quad / \quad g(x) \neq 0\} (Δηλαδή το πηλίκο R έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B, τέτοια ώστε να μην μηδενίζουν τον παρονομαστή, δηλαδή το σύνολο \{x \in A\cap B \quad / \quad g(x) \neq 0\}).

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

    ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

    Σχολιάστε

    Για να αποδείξουμε ότι δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες αρκεί να δείξουμε ότι:

  • έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και,
  • για κάθε x στο πεδίο ορισμού τους έχουν τον ίδιο τύπο, δηλαδή f(x)=g(x) \quad \forall x \in A

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σημεία γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων

    • Σημείο ανήκει σε C_{f}

    Ένα σημείο M(x_{0}, y_{0}) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f αν και μόνο αν ισχύει: f(x_{0})=y_{0}

    Σημείο τομής της γραφικης παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες ή με άλλες συναρτήσεις.

    Για να βρούμε:

    • Το σημείο τομής με τον άξονα x'x.

    Θέτουμε y=0 και λύνουμε την εξίσωση f(x)=0. Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής θα μας δώσει τα σημεία τομής.

    • Το σημείο τομής με τον άξονα y'y.

    Θέτουμε x=0 και λύνουμε την εξίσωση y=f(0). Το σημείο τομής με τον άξονα y'y είναι η λύση της εξίσωσης και είναι το A(0,f(0)). Εφόσον υπάρχει τέτοιο σημείο αυτό είναι και μοναδικό.

    • Τα σημεία τομής δύο συναρτήσεων f(x) και g(x).

    Συνέχεια ανάγνωσης ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ, Β Λυκείου / ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

    ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    4 σχόλια

    Μια συνάρτηση f: A \rightarrow \mathbb{R} λέγεται άρτια όταν:

    • Για κάθε x \in A είναι και -x \in A
    • Ισχύει f(-x)=f(x) για κάθε x \in A

    Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y.

    Μια συνάρτηση f: A \rightarrow \mathbb{R} λέγεται περιττή όταν:

    • Για κάθε x \in A είναι και -x \in A
    • Ισχύει f(-x)=-f(x) για κάθε x \in A

    Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

    Σχολιάστε

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

    Παράδειγμα.1
    Δίνεται συνάρτηση f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία, για κάθε x\in\mathbb{R}, ισχύει:

        \[f(x)+3f(2-x)=-4x\]

    Να βρείτε:
    i) Την τιμή f(1).
    ii) Τον τύπο της συνάρτησης f.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:

    • Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f.
    • Θεωρούμε την εξίσωση y=f(x) και τη λύνουμε ως προς x θέτοντας όπου χρειάζεται περιορισμούς για το y.
    • Απαιτούμε η λύση x που βρήκαμε να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f.
    • Συναληθεύουμε τους περιορισμούς που έχουν προκύψει για το y και βρίσκουμε έτσι το σύνολο τιμών της f.
    • Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →
    Γ Λυκείου / ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    Σχολιάστε

    Παράδειγμα.1
    Να βρείτε για ποιές τιμές του \lambda \in \mathbb{R} το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

        \[f(x)=\ln[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1]\]

    είναι το \mathbb{R}.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    1 σχόλιο

    ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Όταν γνωρίζουμε μόνο τον τύπο μιας συνάρτησης f, τότε το πεδίο ορισμού της είναι το ευρύτερο υποσύνολο του \mathbb{R} στο οποίο ο τύπος της f(x) έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
    Για τις ασκήσεις, γενικά το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης θεωρούμε όλο το \mathbb{R} εκτός απο τις παρακάτω περιπτώσεις που πρέπει να πάρουμε τους σχετικούς περιορισμούς.

    • f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)} τότε θα πρέπει Q(x) \neq 0
    • f(x)=\sqrt[\nu]{P(x)}, \nu \in \mathbb{N}^*- \{1\} τότε θα πρέπει P(x) \geq 0
    • f(x)=ln(P(x)) τότε θα πρέπει P(x)>0
    • f(x)=\epsilon\phi(P(x)) τότε θα πρέπει P(x) \neq \kappa\pi+\dfrac{\pi}{2}, \kappa \in \mathbb{Z}
    • f(x)=\sigma\phi(P(x)) τότε θα πρέπει P(x) \neq \kappa\pi, \kappa \in \mathbb{Z}
    • f(x)=(P(x))^{Q(x)} τότε θα πρέπει P(x)>0

    Όπου P(x), \, \, Q(x) πολυώνυμα του x\in \rr.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →