Αρχείο ετικέτας ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Η ευθεία με εξίσωση $Α\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ είναι:

A) παράλληλη στο διάνυσμα $\vec{\delta} = (B, -A),$
B) κάθετη στο διάνυσμα $\vec{n} = (A, B).$
Απόδειξη
A)
$\bullet$ Αν $Β \neq 0,$ τότε:

$->>>$ η ευθεία $\epsilon: A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ έχει συντελστή διεύθυνσης: $\lambda_{\epsilon} = -\dfrac{A}{B},$
$->>>$ το διάνυσμα $\vec{\delta} = (B, -A)$ έχει συντελστή διεύθυνσης: $\lambda_{\vec{\delta}} = -\dfrac{A}{B}.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ →

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ,Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.

18 Νοεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.

1. Αν το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ είναι μοναδιαίο, $|\vec{\beta}| = 2$ και $(\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = \dfrac{2\pi}{3},$ να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα:i_). $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta},$
  ii_). $(\vec{\alpha} - 2\vec{\beta}) \cdot (\vec{\alpha} - \vec{\beta}),$
  iii_). $(\vec{\alpha} - 3\vec{\beta})^2.$

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ,Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Β.

18 Νοεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν $\vec{\alpha} = (3, \sqrt{3})$ και $\vec{\beta} = (\sqrt{3}, -1)$ να βρείτε τη γωνία των $\vec{\alpha}, \vec{\beta}.$
Αν $\vec{\alpha} = (1, \sqrt{3})$ και $\vec{\beta} = (-\sqrt{3}, 3)$ να βρείτε τη γωνία των $\vec{\alpha}, \vec{\beta}.$
Αν $\vec{\alpha} = (3, -4)$ και $\vec{\beta} = \dfrac{1}{7}i + j,$ να βρείτε τη γωνία των $\vec{\alpha}, \vec{\beta}.$
Αν Α(4, 1), Β(8, 2), Γ(1, 3), να αποδείξετε ότι η γωνία των $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}$ είναι αμβλεία.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Β. →

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ,Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.

18 Νοεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.

1. Αν $\vec{\alpha}^2 = 5\vec{\beta}(2\vec{\alpha} - 5\vec{\beta}),$ να αποδείξετε ότι $\vec{\alpha}\uparrow \uparrow \vec{\beta}.$
2. Αν το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ είναι μοναδιαίο και ισχύει $\vec{\beta}^2 + \vec{\gamma}^2 = \vec{\alpha} \cdot (2\vec{\beta} - \vec{\alpha}),$ να υπολογίσετε την παράσταση $Α = \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}.$
3. Αν το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ είναι μοναδιαίο και ισχύει $|\vec{\beta}| = 2\sqrt{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 1},$ να αποδείξετε ότι $\vec{\beta} = 2\vec{\alpha}.$
4. Αν $|\vec{\alpha}| = 2$ και $|\vec{\beta}| = \sqrt{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 1},$ να δείξετε ότι $\vec{\alpha} = 2\vec{\beta}.$
5. Αν τα διανύσματα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ είναι μοναδιαία και ισχύει $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma} = 2,$ να αποδείξετε ότι $\vec{\alpha} = \vec{\beta} = \vec{\gamma}.$
6. Αν $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\nu} = \dfrac{|\vec{\beta}|}{|\vec{\alpha}|} \cdot \vec{\alpha}$ και $\vec{\upsilon} = \dfrac{|\vec{\alpha}|}{|\vec{\beta}|} \cdot \vec{\beta},$ να αποδείξετε ότι:i.). $\vec{\nu} \uparrow \uparrow \vec{\alpha}$ και $|\vec{\upsilon}| = |\vec{\alpha}|.$
  ii.). $|\vec{\nu} + \vec{\upsilon}| = |\vec{\alpha} + \vec{\beta}|.$
7. Αν για τα διανύσματα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}$ ισχύουν $|\vec{\alpha}| = 2|\vec{\beta}|, ~\vec{\alpha}\neq \vec{0}$ και $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = |\vec{\beta}|,$ να αποδείξετε ότι $\vec{\alpha} \uparrow\downarrow \vec{\beta}.$
8. Αν $|\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = |\vec{\alpha} + \vec{\beta}|,$ να δείξετε ότι $|\vec{\alpha} - \vec{\beta}| = |\vec{\alpha}|\sqrt{3}.$
9. Αν $|\vec{\alpha}| = 6$ και $|\vec{\beta}| = 2$ και $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| \geq 8,$ να αποδείξετε ότι:i.). $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = 8.$
  ii.). $\vec{\alpha} = 3\vec{\beta}.$
  
  ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

6 Νοεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
Ορισμός
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων $\vec{\boldsymbol{α}}$ και $\vec{\boldsymbol{\beta}},$ και το συμβολίζουμε με $\vec{\boldsymbol{α}} \cdot \vec{\boldsymbol{\beta}},$ τον πραγματικό αριθμό:

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\lvert{\vec{α}}\rvert \lvert{\vec{\beta}}\rvert \sigma \upsilon \nu \phi$

Συνέχεια ανάγνωσης →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

10 Ιουλίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου

Αν $\vec{α}=(\mathrm{x_1},\mathrm{y_1})$ και $\vec{\beta}=(\mathrm{x_2},\mathrm{y_2})$ δύο διανύσματα του Καρτεσιανού επιπέδου, τότε:

$\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\mathrm{x_1}\mathrm{x_2}+\mathrm{y_1}\mathrm{y_2}$

Δηλαδή:
Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομωνύμων συντεταγμένων τους.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

6 Ιουλίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου

Για τα διανύσματα $\vec{α},\vec{\beta}$ και $\vec{\gamma}$ ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

$\color{violet}{(\lambda \vec{α}) \cdot \vec{\beta} = \vec{α} \cdot (\lambda \vec{\beta}) = \lambda (\vec{α} \cdot \vec{\beta}), \lambda \in \mathbb{R}}$
$\color{magenta}{\vec{α} \cdot (\vec{\beta + \gamma}) = \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \vec{α} \cdot \vec{\gamma}}$
$\color{orange}{\vec{α} \perp \vec{\beta} \Leftrightarrow \lambda_{\vec{α}} \lambda_{\vec{\beta}} = -1,$ εφόσον $\color{orange}{\vec{α}, \vec{\beta} \nparallel y'y}}$