ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΡΙΖΑ

Παράδειγμα
Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f(x)=\sqrt{2}$ συν $x-1$

ως προς τα πρόσημα στο διάστημα $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$

Λύση
Λύνουμε την εξίσωση:
$f(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{2}$ συν $x-1=0\Leftrightarrow$

συν $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow$ συν $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}\quad$ ή $\quad x=-\dfrac{\pi}{4}$

αφού $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].$
Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία χωρίζεται το πεδίο ορισμού της από τις διαδοχικές ρίζες. Επιλέγουμε έναν αριθμό σε καθένα από τα διαστήματα και βρίσκουμε το πρόσημο της $f$ στον αριθμό αυτό.
Στο $\left[-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{4}\Big )$ επιλέγουμε το $-\dfrac{\pi}{6}$ .
Είναι:
$f\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{2}$ συν $\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)-1=\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1<0$

ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΡΙΖΑ

Άρα ισχύει ότι $f(x)<0$ για κάθε $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{4}\Big )$

Στο $\Big( -\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\Big)$ επιλέγουμε το $0.$
Έχουμε
$f(0)=\sqrt{2}$ συν $0-1=\sqrt{2}\cdot 1 -1 =\sqrt{2}-1>0.$
Άρα ισχύει ότι $f(x)>0$ για κάθε $x\in \Big ( -\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\Big)$

Τέλος στο $\Big ( \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\Big]$ επιλέγουμε το $\dfrac{\pi}{6}.$ οπότε

$f(\dfrac{\pi}{6})= \sqrt{2}$ συν $\dfrac{\pi}{6}-1=\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1<0$

Άρα ισχύει ότι $f(x)<0$ για κάθε $x\in \Big( \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\Big)$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΡΙΖΑ

Μία απάντηση στο “ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΡΙΖΑ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά