ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο $2$ για την οποία ισχύει:

$\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{xf(x)-2f(2)}{x-2}=7 \quad$ και $\,\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2f(2)-4f(x)}{x-2}=-8$

Να βρείτε τις τιμές $f(2)$ και $f'(2)$

Λύση
Αφού η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $2$ ισχύει ότι:

$f'(2)=\lim_{x \to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} \quad (1.)$

Από υπόθεση έχουμε $\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{xf(x)-2f(2)}{x-2}=7 \quad$
για να αξιοποιήσουμε την σχέση (1) θα προσθαφαιρέσουμε στον αριθμητή το $xf(2)$ και έχουμε:

$\lim_{x \to 2}\frac{xf(x)+xf(2)-xf(2)-2f(2)}{x-2}=7\Leftrightarrow$

$\lim_{x \to 2}\frac{x(f(x)-f(2))-f(2)(x-2)}{x-2}=7\Leftrightarrow$

$\lim_{x \to 2}\Big[\frac{x(f(x)-f(2))}{x-2}+\frac{f(2)(x-2)}{x-2}\Big]=7\Leftrightarrow$

$\lim_{x \to 2}\Big[x\cdot\frac{f(x)-f(2)}{x-2}+f(2)\Big]=7\Leftrightarrow$

$2\cdot f'(2)+f(2)=7 \quad (2)$

Επίσης απο υπόθεση έχουμε ότι:
$\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2f(2)-4f(x)}{x-2}=-8$
για να αξιοποιήσουμε την σχέση (1), αυτή τη φορά, θα προσθαφαιρέσουμε στον αριθμητή το $4f(2)$ και έχουμε:

$\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2f(2)-4f(x)}{x-2}=-8\Leftrightarrow$

$\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2f(2)+4f(2)-4f(2)-4f(x)}{x-2}=-8\Leftrightarrow$

$\lim_{x \to 2}\dfrac{f(2)(x^2-4)-4(f(x)-f(2))}{x-2}=-8\Leftrightarrow$

$\lim_{x \to 2}\Big[\dfrac{f(2)(x-2)(x+2)}{x-2}-\dfrac{4(f(x)-f(2))}{x-2}\Big]=-8\Leftrightarrow$

$\lim_{x \to 2}\Big[f(2)\cdot(x+2)-4\cdot\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\Big]=-8\Leftrightarrow$

$4\cdot f(2)-4\cdot f'(2)= -8\Leftrightarrow$

$f(2)-f'(2)=-2 \quad (3)$

Επομένως από τις σχέσεις $(2)$ και $(3)$ έχουμε:

$\begin{align*} &\left\{ \begin{tabular}{ll} $2\cdot f'(2)+f(2)=7$ \\\\ $f(2)-f'(2)=-2$ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow\\\\ &\left\{ \begin{tabular}{ll} $2\cdot f'(2)+f(2)=7$ \\\\ $f(2)=-2+f'(2)$ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow\\\\ &\left\{ \begin{tabular}{ll} $2\cdot f'(2)-2+f'(2) =7$ \\\\ $f(2)=-2+f'(2)$ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow\\\\ &\left\{ \begin{tabular}{ll} $3\cdot f'(2) =7+2$ \\\\ $f(2)=-2+f'(2)$ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow\\\\ &\left\{ \begin{tabular}{ll} $3\cdot f'(2) =9$ \\\\ $f(2)=-2+f'(2)$ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow\\\\ &\left\{ \begin{tabular}{ll} $ f'(2) =3$ \\\\ $f(2)=-2+3$ \end{tabular} \right.\\\\ \end{align*}$

Τελικά $f'(2)=3$ και $f(2)=1.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά