ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2-5x+4$ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ , η οποία:
i) Έχει συντελεστή διεύθυνσης $3.$
ii) Είναι παράλληλη στην ευθεία $(\zeta): y=5x-7.$
iii) Είναι κάθετη στην ευθεία $(\eta):y=\frac{1}{7}x+\frac{13}{7}$
iv) Να είναι παράλληλη στο άξονα $x'x.$
v) Να σχηματίζει γωνία $45^{\circ}$ με τον άξονα $x'x.$

Λύση
i) Έστω $(\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})$ η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο $M\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)$

Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα $x_{0}, f(x_{0})$ και $f'(x_{0}).$

Από υπόθεση η ζητούμενη εφαπτομένη $(\epsilon)$ έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_{\epsilon}=3$
άρα $f'(x_0)=3.$
Ισχύει ότι: $f'(x)=(x^2-5x+4)'\Leftrightarrow f'(x)=2x-5.$
Συνεπώς

$\begin{align*} &f'(x_0)=3 \Leftrightarrow\\ &2x_0-5=3 \Leftrightarrow\\ &x_0=4 \end{align*}$

Άρα το σημείο επαφής είναι το $M(4,f(4))$ . Είναι:

$\begin{eqnarray*} f(4)&=& 4^2-5\cdot4+4\\ &=&0 \end{eqnarray*}$

Επομένως η εφαπτομένη $(\epsilon)$ έχει εξίσωση:

$\begin{align*} &y-f(4)=f'(4)(x-4) \Leftrightarrow\\ &y-0=3(x-4) \Leftrightarrow\\ &y=3x-12 \end{align*}$

ii) Έστω $(\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})$ η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο $M\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)$

Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα $x_{0}, f(x_{0})$ και $f'(x_{0}).$

Από υπόθεση η ευθεία

$(\zeta): y=5x-7.$

έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_{\zeta} = 5.$ Έχουμε:

$\begin{align*} &\epsilon\parallel \zeta \Leftrightarrow\\ &\lambda_{\epsilon}=\lambda_{\zeta} \Leftrightarrow\\ &f'(x_0)=5. \end{align*}$

Επειδή $f'(x)=(x^2-5x+4)'\Leftrightarrow f'(x)=2x-5\Leftrightarrow f'(x_{0})=2x_{0}-5.\,$
έχουμε ότι:

$\begin{align*} &2x_0-5=5 \Leftrightarrow\\ &x_0=5 \end{align*}$

Άρα το σημείο επαφής είναι το $M(5,f(5))$ . Είναι:

$\begin{eqnarray*} f(5)&=&5^2-5\cdot5+4\\ &=&4 \end{eqnarray*}$

Επομένως η εφατομένη $(\epsilon)$ έχει εξίσωση:

$\begin{align*} &y-f(5)=f'(5)(x-5) \Leftrightarrow\\ &y-4=5(x-5) \Leftrightarrow\\ &y=5x-21 \end{align*}$

iii) Έστω $(\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})$ η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο $M\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)$

Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα $x_{0}, f(x_{0})$ και $f'(x_{0}).$

Από υπόθεση η ευθεία

$(\eta):y=\frac{1}{7}x+\frac{13}{7}$

έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_{\eta} = \dfrac{1}{7}.$ Έχουμε:

$\begin{align*} &\epsilon \bot\eta \Leftrightarrow\\ &\lambda_{\epsilon}\lambda_{\eta}=-1 \Leftrightarrow\\ &f'(x_0)\cdot\frac{1}{7}=-1 \Leftrightarrow\\ &f'(x_0)=-7 \end{align*}$

Επειδή $f'(x)=(x^2-5x+4)'\Leftrightarrow f'(x)=2x-5\Leftrightarrow f'(x_{0})=2x_{0}-5.\,$
έχουμε ότι:

$\begin{align*} &2x_0-5=-7 \Leftrightarrow\\ &x_0=-1 \end{align*}$

Άρα το σημείο επαφής είναι το $M(-1,f(-1))$ . Είναι:

$\begin{eqnarray*} f(-1)&=&(-1)^2-5\cdot(-1)+4\\ &=&10 \end{eqnarray*}$

Επομένως η εφατομένη $(\epsilon)$ έχει εξίσωση:

$\begin{align*} &y-f(-1)=f'(-1)(x+1) \Leftrightarrow\\ &y-10=-7(x+1) \Leftrightarrow\\ &y=-7x+3 \end{align*}$

iv) Έστω $(\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})$ η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο $M\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)$

Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα $x_{0}, f(x_{0})$ και $f'(x_{0}).$
Η ζητούμενη εφαπτομένη $(\epsilon)$ έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αριθμό $f'(x_0)$ . Έχουμε:

$\begin{align*} &\epsilon \parallel x'x \Leftrightarrow\\ &\lambda_{\epsilon}=0 \Leftrightarrow\\ &f'(x_0)=0 . \end{align*}$

Επειδή $f'(x)=(x^2-5x+4)'\Leftrightarrow f'(x)=2x-5\Leftrightarrow f'(x_{0})=2x_{0}-5.\,$
έχουμε ότι:

$\begin{align*} &2x_0-5=0 \Leftrightarrow\\ &x_0=\frac{5}{2} \end{align*}$

Άρα το σημείο επαφής είναι το $M(\frac{5}{2},f(\frac{5}{2}))$ . Είναι:

$\begin{eqnarray*} f(\dfrac{5}{2})&=&(\dfrac{5}{2})^2-5\cdot\dfrac{5}{2}+4\\ &=&-\dfrac{9}{4} \end{eqnarray*}$

Επομένως η εφαπτομένη $(\epsilon)$ έχει εξίσωση:

$\begin{align*} &y-f(\dfrac{5}{2})=f'(\dfrac{5}{2})\cdot (x-\dfrac{5}{2}) \Leftrightarrow\\ &y+\dfrac{9}{4}=0\cdot (x-\dfrac{5}{2}) \Leftrightarrow\\ &y=-\dfrac{9}{4} \end{align*}$

v) Έστω $(\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})$ η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο $M\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)$

$\begin{align*} &\lambda_{\epsilon}=\epsilon\phi\omega \Leftrightarrow\\ &f'(x_0)=\epsilon\phi45^{\circ} \Leftrightarrow\\ &f'(x_0)=1. \end{align*}$

Επειδή $f'(x)=(x^2-5x+4)'\Leftrightarrow f'(x)=2x-5\Leftrightarrow f'(x_{0})=2x_{0}-5.\,$
έχουμε ότι:

$\begin{align*} &2x_0-5=1 \Leftrightarrow\\ &x_0=3 \end{align*}$

Άρα το σημείο επαφής είναι το $M(3,f(3))$ . Είναι:

$\begin{eqnarray*} f(3)&=& 3^2-5\cdot3+4\\ &=&-2 \end{eqnarray*}$

Επομένως η εφαπτομένη $(\epsilon)$ έχει εξίσωση:

$\begin{align*} &y-f(3)=f'(3)(x-3) \Leftrightarrow\\ &y+2=1(x-3) \Leftrightarrow\\ &y=x-5 \end{align*}$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μία απάντηση στο “ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά