ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Όταν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις $(f \circ g)(x)$ και $g(x)$ , τότε για να βρούμε τη συνάρτηση $f(x)$ εργαζόμαστε ως εξής:

Θέτουμε όπου $g(x)=u.$
Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς $x.$
Αντικαθιστούμε το $x$ που βρήκαμε στον τύπο $f(g(x).)$

Παράδειγμα.1
Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύουν

$f(x)=2x-1 \quad \& \quad (g \circ f)(x)=4x^2+4$

Να ορίσετε τη συνάρτηση $g.$
Λύση
Ισχύει

$\begin{align*} &(g \circ f)(x)=4x^2+4 \Leftrightarrow\\ &(g (f(x))=4x^2+4 \quad (1) \end{align*}$

Θέτουμε $u=f(x)$ και έχουμε:

$\begin{align*} &f(x)=u\Leftrightarrow\\ &2x-1=u \Leftrightarrow\\ &2x=u+1 \Leftrightarrow\\ &x=\frac{u+1}{2} \quad (2) \end{align*}$

Έτσι η σχέση $(1)$ γίνεται:

$\begin{align*} &g(f(x))=4x^2+4 \Leftrightarrow\\ &g(u)=4\Big(\frac{u+1}{2}\Big)^2+4 \Leftrightarrow\\ &g(u)=4\cdot\frac{u^{2}+2u+1}{4}+4 \Leftrightarrow\\ &g(u)=u^{2}+2u+1+4 \Leftrightarrow\\ &g(u)=u^2+2u+5 \end{align*}$

Αν αλλάξουμε τη μεταβλητή απο $u$ σε $x$ έχουμε ότι:

$g(x)=x^2+2x+5, \quad x\in \rr$

ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗΣ
Όταν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις $(f \circ g)(x)$ και $f(x)$ , τότε για να βρούμε τη συνάρτηση $g(x)$ εργαζόμαστε ως εξής:

Θέτουμε όπου $g(x)=x$ στον τύπο της $f(x).$
Έχουμε τη συνάρτηση $f(g(x))$ με δύο μορφές. Εξισώνουμε τις δύο αυτές μορφές και βρίσκουμε τη $g(x).$

ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα.2
Δίνονται συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύουν

$(f \circ g)(x)=3x^2-6x+10 \quad \& \quad f(x)=3x+1$

Λύση
Ισχύει ότι:

$\begin{align*} &(f \circ g)(x)=3x^2-6x+10 \Leftrightarrow\\ & f(g(x))=3x^2-6x+10 \quad (1) \end{align*}$

Στη συνάρτηση $f(x)=3x+1$ , θέτουμε όπου $x$ το $g(x)$ και προκύπτει ότι:

$f(g(x))=3g(x)+1 \quad (2)$

Από τις σχέσεις $(1)$ και $(2)$ προκύπτει ότι

$\begin{align*} & 3g(x)+1=3x^2-6x+10 \Leftrightarrow\\ & 3g(x)=3x^2-6x+9 \Leftrightarrow\\ & g(x)=x^2-2x+3\quad x\in \rr \end{align*}$

Παράδειγμα.3.
Να βρείτε τη συνάρτηση $f,$ για την οποία ισχύει:

$\big( g\circ f\big) = \big| \ef x \big|\quad \text{αν} \quad g(x) = \sqrt{x^{2}-1}.$

Λύση
Έχουμε:

$\begin{align*} &\big( g\circ f\big) = \big| \ef x \big|\Leftrightarrow\\\\ &g\big(f(x)\big) =\big| \ef x \big|\xLeftrightarrow{g(x) = \sqrt{x^{2}-1}}\\\\ & \sqrt{\big(f(x)\big)^{2}-1}=\big| \ef x \big|\Leftrightarrow\\\\ &\Big( \sqrt{\big(f(x)\big)^{2}-1}\Big)^{2}=\Big(\big| \ef x \big|\Big)^{2}\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)-1=\ef^{2}x\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\ef^{2}x+ 1\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\Big(\dfrac{\hm x}{\syn x}\Big)^{2}+ 1\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\dfrac{\hm^{2} x}{\syn^{2} x}+ 1\Leftrightarrow\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &f^{2}(x)=\accentset{1}{\accentset{\smile}{\dfrac{\hm^{2} x}{\syn^{2} x}}}+\accentset{\syn^{2} x}{\accentset{\smile}{\dfrac{1}{1}}}\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\dfrac{\hm^{2} x}{\syn^{2} x}+ \dfrac{\syn^{2} x}{\syn^{2} x}\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\dfrac{\hm^{2} x+\syn^{2} x}{\syn^{2} x}\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\dfrac{1}{\syn^{2} x}\Leftrightarrow\\\\ &\sqrt{f^{2}(x)}=\sqrt{\dfrac{1}{\syn^{2} x}}\Leftrightarrow\\\\ &\Big|f(x)\Big|=\dfrac{1}{\big|\syn x\big|} \quad (1.) \end{align*}$

Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την τη σχέση $(1.)$ είναι άπειρες, στο πλήθος, για παράδειγμα μπορεί να είναι η $f(x) = \dfrac{1}{\syn x} \,\, \text{με } x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, \, \kappa \in \mathbb{Z}$
ή $f(x) = -\dfrac{1}{\syn x} \,\, \text{με } x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, \, \kappa \in \mathbb{Z}.$
ή οποιαδήποτε συνάρτηση με κλάδους π.χ.

$f(x) &= \begin{cases} \dfrac{1}{\syn x} & \text{αν}\, x\geq 0,\\\\ -\dfrac{1}{\syn x} & \text{αν } x <0, \end{cases}\\ \text{με}\, x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, \, \kappa \in \mathbb{Z}.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα, Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά