Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

1 σχόλιο
Print Friendly, PDF & Email

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Για συναρτησεις δύο μεταβλητων της μορφής,

    \[f(x+y),\]

τις αντιμετωπίζουμε με μία απο τις παρακάτω αντικαταστάσεις:

  • όπου x και y το 0.
  • όπου y το -x.
  • όπου x το y και αντιστρόφως.
  • όπου y το μηδέν οπότε έχουμε ισότητα μόνο ως προς x.

Για συναρτησεις δύο μεταβλητων της μορφής,

    \[f(x\cdot y),\]

τις αντιμετωπίζουμε με μία απο τις παρακάτω αντικαταστάσεις

  • όπου x κα y το 1.
  • όπου y το \dfrac{1}{x}.
  • όπου x κα y το \sqrt{x} με x,y > 0.
  • όπου x το y και αντιστρόφως.
  • όπου y το 1 οπότε έχουμε ισότητα μόνο ως προς x.

Παράδειγμα
Έστω συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}. Αν για κάθε x,y\in \mathbb{R} ισχύει:

    \[f(x\cdot y) =xf(x) +yf(y)-x\cdot y\]

Να βρεθεί ο τύπος της f.
Λύση

Αφού για κάθε x,y \in \mathbb{R} ισχύει:

    \[f(x\cdot y) =xf(x) +yf(y)-x\cdot y\]

άρα θα ισχύει και για x=y=1 δηλαδή

    \begin{align*} &f(1\cdot 1) =1f(1) +1f(1)-1\cdot 1\Leftrightarrow\\ &f(1)=f(1)+f(1)-1\Leftrightarrow\\ &f(1)-f(1)-f(1)=-1\Leftrightarrow\\ &-f(1)=-1\Leftrightarrow\\ &f(1)=1. \end{align*}

Επίσης, αφού για κάθε x,y \in \mathbb{R} ισχύει:

    \[f(x\cdot y) =xf(x) +yf(y)-x\cdot y\]

άρα θα ισχύει και για y=1 και x\in \mathbb{R}

    \begin{align*} &f(x\cdot 1) =xf(x) +1f(1)-x\cdot 1\Leftrightarrow\\ &f(x)=xf(x)+f(1)-x\Leftrightarrow\\ &f(x)-xf(x)=f(1)-x\Leftrightarrow\\ &f(x)-xf(x)=1-x\Leftrightarrow\\ &f(x)-xf(x)-1+x=0\Leftrightarrow\\ &f(x)(1-x)-(1-x)=0\Leftrightarrow\\ &(1-x)\big(f(x)-1\big)=0. \end{align*}

από όπου προκύπτουν δύο περιπτωσεις ή 1-x=0\Leftrightarrow x=1 άτοπο αφού εχουμε κανει τον ισχυρισμό ότι ισχύει για κάθε x\in \mathbb{R} και όχι μόνο για x=1, οπότε θα πρέπει να ισχύει μονο η περίπτωση f(x)-1=0 δηλαδή

    \[f(x)=1.\]

Βιβλιογραφία: Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Μία απάντηση στο “ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ”

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *