12 Απριλίου 2016 - Ν. Α. Διακόπουλος

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Έστω $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ μία 1-1 συνάρτηση, άρα ορίζεται η αντίστροφη $f^{-1}.$

Επειδή οι γραφικές παραστάσεις $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x,$ προκύπτει ότι οι εξισώσεις $f(x)=x$ και $f^{-1}(x)=x$ είναι ισοδύναμες, δηλαδή:

$f(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x.$

Λύνοντας μια από τις παραπάνω εξισώσεις βρίσκουμε τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ με τον άξονα συμμετρίας τους $y=x.$

Αν δεν μπορεί να βρεθεί τύπος για την αντίστροφη συνάρτηση και θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση $f^{-1}(x)=x,$ τότε λύνουμε την ισοδύναμή της εξίσωση $f ( x) = x$ , διότι τα σημεία τομής της $C_{f^{-1}}$ με την ευθεία $y = x$ (αν υπάρχουν) είναι τα ίδια με τα σημεία τομής της $C_ f$ με την ίδια ευθεία.