Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

1 σχόλιο
Print Friendly, PDF & Email

ΟΡΙΣΜΟΣ
Μια συνάρτηση f:A \to \mathbb{R} λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x_{1}, x_{2} \in A ισχύει η συνεπαγωγή:

    \[x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}).\]

ισοδύναμος ορισμός
Μια συνάρτηση f:A \to \mathbb{R} λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x_{1}, x_{2} \in A ισχύει η συνεπαγωγή:

    \[f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}.\]

Παράδειγμα
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x)=\dfrac{3\ln x-2}{4} είναι 1-1.
Λύση
Η συνάρτηση ορίζεται όταν: x>0
Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A_{f}=(0, +\infty)
Έστω x_{1}, x_{2} \in A_{f} με f(x_{1})=f(x_{2}). Έχουμε:

    \begin{align*} f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow &\dfrac{3\ln x_{1}-2}{4} =\dfrac{3\ln x_{2}-2}{4} \Rightarrow\\\\ &3\ln{ x_{1}-2}= 3\ln x_{2}-2\Rightarrow\\\\ &\ln x_{1}=\ln x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}. \end{align*}

Άρα η f είναι 1-1.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Οι αντίστροφες συνεπαγωγές του ορισμού της 1-1 συνάρτησης ισχύουν για κάθε πραγματική συνάρτηση
πράγματι αφου οι αλγεβρικοί ορισμοί της πραγματικής συνάρτησης είναι:

  • f:A \to\mathbb{R}, λέγεται συνάρτηση, αν για κάθε x_{1},x_{2}\in A με x_{1}=x_{2} ισχύει:

        \[x_{1}= x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) = f(x_{2}).\]

    • απο τον κανονα της αντιθετοαντιστροφής έχουμε τον ισοδυναμο ορισμό της συνάρτησης

  • f:A \to\mathbb{R}, λέγεται συνάρτηση, αν για κάθε x_{1},x_{2}\in A με f(x_{1})\neq f(x_{2}) ισχύει:

        \[f(x_{1})\neq f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} \neq x_{2}.\]

    • Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Μάστακας, Γαρατζιώτης, εκδόσεις Κέρδος.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Μία απάντηση στο “ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1”

    1. Παράθεμα: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH/29 - Ν. Α. Διακόπουλος

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *