Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο x_{0}, πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουμε “κοντά στο x_{0}.”
Δηλαδή η f πρέπει να είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (\alpha,x_{0})\cup(x_{0},\beta) ή (\alpha,x_{0}), ή (x_{0},\beta).

Παράδειγμα.1
Έστω f(x)=\sqrt{x-3}, να εξετάσετε αν έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου \displaystyle\lim_{x \to 4}f(x) και \displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)

Λύση
Για την εύρεση του πεδίου ορισμού της f(x)=\sqrt{x-3},
θα πρέπει x-3\geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3.
Άρα το πεδίο ορισμού είναι A_{f} = [3,+\infty)
Αφού η f ορίζεται πολύ κοντα στο x_{0} = 4, άρα η αναζήτηση του \displaystyle\lim_{x \to 4}f(x), έχει νόημα.
Αντιθέτως η f ΔΕΝ ορίζεται πολύ κοντα στο x_{0} = 0, άρα η αναζήτηση του \displaystyle\lim_{x \to 0}f(x), ΔΕΝ έχει νόημα.

Παράδειγμα.2
Να εξετάσετε αν έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου

    \[\lim_{x \to 1}(\sqrt{x^2+2x-3}-\sqrt{-x^2-4x+5})\]

Λύση

Η συνάρτηση

    \[f(x)=\sqrt{x^2+2x-3}-\sqrt{-x^2-4x+5}\]

ορίζεται όταν:

    \[x^2+2x-3\geq0 \quad (1).\]

και

    \[-x^2-4x+5\geq 0 \quad (2).\]

Για την επίλυση της (1): x^2+2x-3\geq 0,
βρίσκουμε της ριζες της x^2+2x-3 = 0,
και κάνουμε πίνακα προσήμων για το τριώνυμο x^2+2x-3.

    \begin{align*} \begin{tabular}{c| c c c c c c c} $ x $ & $\scriptscriptstyle -\infty $& & $-3$ & & $1$ & & $\scriptscriptstyle+\infty $\\ \hline $ x^2+2x-3 $ & & + & $ 0$ & - & $ 0$ & + & \\ \end{tabular} \end{align*}

Οπότε:
x^2+2x-3\geq 0\Leftrightarrow x\leq -3 ή x\geq 1.

Για την επίλυση της (2):-x^2-4x+5\geq 0,
βρίσκουμε της ριζες της -x^2-4x+5 = 0,
και κάνουμε πίνακα προσήμων για το τριώνυμο -x^2-4x+5.

    \begin{align*} \begin{tabular}{c| c c c c c c c} $ x $ & $\scriptscriptstyle -\infty $& & $-5$ & & $1$ & & $\scriptscriptstyle+\infty $\\ \hline $ -x^2-4x+5$ & & - & $ 0$ & + & $ 0$ & - & \\ \end{tabular} \end{align*}

Συνεπώς
-x^2-4x+5\geq 0\Leftrightarrow -5\leq x \leq +1

Συνεπώς η συναλήθευση των παραπάνω περιορισμών μας δίνει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης δηλαδή:

    \begin{align*} & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x\leq -3, \quad x\geq 1,$ \\\\ $-5\leq x \leq +1$ \end{tabular} \right. \end{align*}

Rendered by QuickLaTeX.com

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το:

    \[A_{f}=[-5,-3]\cup\{1\}\]

Παρατηρούμε ότι η f ορίζεται στο 1,
όμως δεν ορίζεται “κοντά” στο 1, για αυτό δεν έχει νόημα η αναζήτηση του

    \[\lim_{x \to 1}(\sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{-x^2-4x+5}).\]

ΣΧΟΛΙΟ.
Όταν οι τιμές της συνάρτησης f πλησιάζουν όσο κοντά θέλουμε τον αριθμό l_{1}, καθώς το x πλησιάζει το x_{0} απο μικρότερες τιμές (x<x_{0}), γράφουμε:

    \[\lim_{x\to x_{0}^{-}}=l_{1}.\]

και λέμε ότι το αριστερό όριο της f στο x_{0} είναι l_{1}.
Όταν οι τιμές της συνάρτησης f πλησιάζουν όσο κοντά θέλουμε τον αριθμό l_{2}, καθώς το x πλησιάζει το x_{0} απο μεγαλύτερες τιμές (x>x_{0}), γράφουμε:

    \[\lim_{x\to x_{0}^{+}}=l_{2}.\]

και λέμε ότι το δεξιό όριο της f στο x_{0} είναι l_{2}.
Το αριστερό και δεξιό όριο της f στο x_{0}, αν υπάρχουν, λέγονται πλευρικά όρια της f στο x_{0}.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Να εξετάσετε εάν έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου στις παρακάτω περιπτώσεις
i_) Αν f(x) = \sqrt{25-x^{2}} και \displaystyle\lim_{x\to 5}f(x)

ii_) Αν f(x)=\dfrac{x^{2}-3x+2}{x-1} και \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)

iii_) Αν f(x) = \sqrt{x^{2}-5x+6}+ \sqrt{-x^{2}+2x+3} και \displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα, Στεργίου, Νακής, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *