Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Όταν σε ένα όριο άρρητης συνάρτησης της μορφής \dfrac{0}{0}, εμφανίζονται παράστασεις της μορφής

    \[\sqrt[\nu]{f(x)}\pm\sqrt[\mu]{g(x)}\pm\lambda\]

τότε εργαζόμαστε ως εξής:

  • Διασπάμε τον αριθμό \lambda σε δύο αριθμούς. Οι αριθμοί αυτοί είναι αντίθετοι των τιμών που θα προκύψουν από τις \sqrt[\nu]{f(x)} και \sqrt[\mu]{g(x)}, αν θέσουμε σε αυτές όπου το x το x_{o}.
  • Χωρίζουμε το κλάσμα σε δύο κλάσματα που το καθένα περιέχει από μία ρίζα και τον αντίστοιχο αριθμό.
  • Κάθε κλάσμα είναι της μορφής \dfrac{0}{0} και πολλαπλασιάζουμε τους όρους με την κατάλληλη συζυγή παράσταση.

    • Παράδειγμα.1
    Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 3}{\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+5}-4}{x^2-2x-3}}.
    Λύση

    Παρατηρούμε ότι:

        \[\displaystyle\lim_{x \to 3}\sqrt{x+1}=\sqrt{3+1}=2\]

    και

        \[\lim_{x \to 3}\sqrt[3]{x+5}=\sqrt[3]{3+5}=2\]

    Άρα θα διασπάσουμε τον αριθμό -4 σε -2+(-2) και το όριο γίνεται:

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 3}{\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+5}-4}{x^2-2x-3}}\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3}{\dfrac{\sqrt{x+1}-2+\sqrt[3]{x+5}-2}{x^2-2x-3}}. \end{align*}

    δηλαδή έχουμε:

        \[\lim_{x \to 3}\Bigg(\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x^2-2x-3}+\dfrac{\sqrt[3]{x+5}-2}{x^2-2x-3}\Bigg)\]

    Υπολογίζουμε ξεχωριστά τα όρια:

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x^2-2x-3} = \\\\ & \displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x^2-2x-3}\cdot\dfrac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2}=\\\\ & \lim_{x\to 3}\dfrac{(\sqrt{x+1})^2-2^2}{(x-3)(x+1)(\sqrt{x+1}+2)}=\\\\ & \displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x+1-4}{(x-3)(x+1)(\sqrt{x+1}+2)}= \\\\ & \lim_{x\to 3}\dfrac{x-3}{(x-3)(x+1)(\sqrt{x+1}+2)}=\\\\ & \displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{1}{(x+1)(\sqrt{x+1}+2)} = \\\\ &\dfrac{1}{(3+1)(\sqrt{3+1}+2)} = \dfrac{1}{16}. \end{align*}

    επίσης έχουμε ότι:

        \begin{align*} &\lim_{x \to 3}\dfrac{\sqrt[3]{x+5}-2}{x^2-2x-3} = \\\\ &\lim_{x \to 3}\dfrac{\sqrt[3]{x+5}-2}{x^2-2x-3}\cdot\dfrac{\sqrt[3]{x+5}^2+2\sqrt[3]{x+5}+2^2}{\sqrt[3]{x+5}^2+2\sqrt[3]{x+5}+2^2}=\\\\ &\lim_{x \to 3}\dfrac{\sqrt[3]{x+5}^3-2^3}{(x-3)(x+1)(\sqrt[3]{x+5}^2+2\sqrt[3]{x+5}+2^2)}=\\\\ & \lim_{x \to 3}\dfrac{x+5-8}{(x-3)(x+1)(\sqrt[3]{x+5}^2+2\sqrt[3]{x+5}+2^2)}=\\\\ & \lim_{x \to 3}\dfrac{x-3}{(x-3)(x+1)(\sqrt[3]{x+5}^2+2\sqrt[3]{x+5}+2^2)}=\\\\ & \lim_{x \to 3}\dfrac{1}{(x+1)(\sqrt[3]{x+5}^2+2\sqrt[3]{x+5}+2^2)}=\\\\ &\dfrac{1}{(3+1)(\sqrt[3]{3+5}^2+2\sqrt[3]{3+5}+2^2)} = \dfrac{1}{48} \end{align*}

    Άρα το αρχικό όριο γίνεται:

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 3}{\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+5}-4}{x^2-2x-3}}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 3}{\dfrac{\sqrt{x+1}-2+\sqrt[3]{x+5}-2}{x^2-2x-3}}=\\\\ &\dfrac{1}{16}+ \dfrac{1}{48}=\dfrac{1}{12}. \end{align*}

    Παράδειγμα.2
    Να βρεθεί το όριο \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{3\sqrt{x}+\sqrt{x+3}-5}
    Λύση.
    Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής \dfrac{0}{0}.
    Υπολογίζουμε το αντίστροφο του κλασματος και στη συνέχεια βρίσκουμε το όριο στο x_{0}=1
    Έχουμε ότι:

        \begin{align*} &\dfrac{3\sqrt{x}+\sqrt{x+3}-5}{x-1}=\\\\ &\dfrac{3\sqrt{x}+\sqrt{x+3}-2-3}{x-1}=\\\\ &\dfrac{3\sqrt{x}-3+\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\\\\ &\dfrac{3\sqrt{x}-3}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} \end{align*}

    Υπολογίζουμε τα όρια
    \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3\sqrt{x}-3}{x-1}\quad και \quad \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}.

    Οπότε

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3\sqrt{x}-3}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3(\sqrt{x}-1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3(\sqrt{x}-1)\cdot (\sqrt{x}+1)}{(x-1)\cdot (\sqrt{x}+1)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3(\sqrt{x}^{2}-1^{2})}{(x-1)\cdot (\sqrt{x}+1)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3(x-1)}{(x-1)\cdot (\sqrt{x}+1)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3}{ (\sqrt{x}+1)}=\\\\ &\dfrac{3}{ (\sqrt{1}+1)}=\dfrac{3}{2}. \end{align*}

    Επίσης

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{(\sqrt{x+3}-2)\cdot (\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)\cdot (\sqrt{x+3}+2)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}^{2}-2^{2}}{(x-1)\cdot (\sqrt{x+3}+2)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x+3-4}{(x-1)\cdot (\sqrt{x+3}+2)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{(x-1)\cdot (\sqrt{x+3}+2)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\\\\ &\dfrac{1}{\sqrt{1+3}+2}=\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}. \end{align*}

    Συνεπώς

        \begin{align*} & \displaystyle\lim_{x\to 1} =\dfrac{3\sqrt{x}+\sqrt{x+3}-5}{x-1}= \\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3\sqrt{x}-3}{x-1}+\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\\\\ &\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4} =\dfrac{7}{4}. \end{align*}

    Τελικα για το αρχικό όριο έχουμε:

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{3\sqrt{x}+\sqrt{x+3}-5}=\\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{1}{\dfrac{3\sqrt{x}+\sqrt{x+3}-5}{x-1}}=\\\\\ & \dfrac{1}{\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{3\sqrt{x}+\sqrt{x+3}-5}{x-1}}=\\\\\ & \dfrac{1}{\frac{7}{4}}=\dfrac{4}{7}. \end{align*}

    Παράδειγμα.3
    Να υπολογισθεί το όριο \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{x^{2}+8x}-x+2}{x-1}.
    Λύση
    Α.ΤΡΟΠΟΣ
    Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής \dfrac{0}{0}.
    Επίσης έχουμε ότι:

        \[\lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2}+3}=2\]

    και

        \[\lim_{x\to1} \Big( -\sqrt{x^{2}+8x}\Big) =-3\]

    Οπότε θα προσθαφαιρεσουμε το 2 και το 3 στον αριθμητη του κλασματος με τον ακολουθο τρόπο

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-{\color{red}2}-\sqrt{x^{2}+8x}+{\color{blue}3}-x+2+{\color{red}2}-{\color{blue}3}}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-{\color{red}2}-\sqrt{x^{2}+8x}+{\color{blue}3}-x+1}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\Bigg( \dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-{\color{red}2}}{x-1}+\dfrac{-\sqrt{x^{2}+8x}+{\color{blue}3}}{x-1}+\dfrac{-x+1}{x-1}\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\Bigg( \dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-{\color{red}2}}{x-1}-\dfrac{\sqrt{x^{2}+8x}-{\color{blue}3}}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1}\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\Bigg( \dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-{\color{red}2}}{x-1}-\dfrac{\sqrt{x^{2}+8x}-{\color{blue}3}}{x-1}-1\Bigg). \quad(1) \end{align*}

    Υπολογίζουμε τα επιμέρους όρια:

        \begin{align*} \lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2}{x-1} &= \lim_{x\to 1}\dfrac{\big(\sqrt{x^{2}+3}-2\big)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+3}+2\big)}{(x-1)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+3}+2\big)}=\\\\ &= \lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}^{2}-2^{2}}{(x-1)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+3}+2\big)}=\\\\ &= \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+3-4}{(x-1)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+3}+2\big)}=\\\\ &= \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-1}{(x-1)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+3}+2\big)}=\\\\ &= \lim_{x\to 1}\dfrac{(x-1)\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+3}+2\big)}=\\\\ &= \lim_{x\to 1}\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+3}+2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. \quad(2) \end{align*}

    Επίσης

        \begin{align*} \lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+8x}-3}{x-1} &=\lim_{x\to 1}\dfrac{\big(\sqrt{x^{2}+8x}-3\big)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+8x}+3\big) }{(x-1)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+8x}+3\big)}=\\\\ &=\lim_{x\to 1}\dfrac{\big(\sqrt{x^{2}+8x}^{2}-3^{2}\big)}{(x-1)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+8x}+3\big)}=\\\\ &=\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+8x-9}{(x-1)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+8x}+3\big)}=\\\\ &=\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+8x-9}{(x-1)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+8x}+3\big)}=\\\\ &=\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+8x-9}{(x-1)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+8x}+3\big)}\xlongequal[]{\frac{0}{0}}\\\\ &=\lim_{x\to 1}\dfrac{(x-1)\cdot(x+9)}{(x-1)\cdot \big(\sqrt{x^{2}+8x}+3\big)}=\\\\ &=\lim_{x\to 1}\dfrac{x+9}{\sqrt{x^{2}+8x}+3}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}. \quad (3) \end{align*}

    Τελικά το αρχικό όριο λόγω των (1) (2 ) και (3) γίνεται

        \[\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{x^{2}+8x}-x+2}{x-1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{3}-1=-\dfrac{13}{6}.\]

    Β.ΤΡΟΠΟΣ
    Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής \dfrac{0}{0}.
    Επίσης έχουμε ότι:

        \[\lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2}+3}=2\]

    και

        \[\lim_{x\to1} \Big( -\sqrt{x^{2}+8x}\Big) =-3\]

    Για να υπολογίσουμε το ζητούμενο όριο πρεπει να μετατρέψουμε την παράσταση -x+2 σε δύο άλλες παραστάσεις, οι οπόιες οι τιμές τους στο x_{0}=1 να είναι αντίθετες του 2 και του -3 .
    Συνεπώς έχουμε -x + 2= -2x +x+2
    αφού για x=1 η παράσταση 2x =2 και η παράσταση x+2 =3.
    Οπότε το αρχικό όρι γίνεται:

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{x^{2}+8x}-x+2}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{x^{2}+8x}-2x +x+2}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2x +x+2-\sqrt{x^{2}+8x}}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\Bigg(\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2x}{x-1} +\dfrac{x+2-\sqrt{x^{2}+8x}}{x-1}\Bigg) \end{align*}

    Υπολογίζουμε τα όρια

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2x}{x-1} =\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{(\sqrt{x^{2}+3}-2x)\cdot (\sqrt{x^{2}+3}+2x)}{(x-1)\cdot (\sqrt{x^{2}+3}+2x)} =\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}^{2}-(2x)^{2}}{(x-1)\cdot (\sqrt{x^{2}+3}+2x)} =\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+3-4x^{2}}{(x-1)\cdot (\sqrt{x^{2}+3}+2x)} =\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3-3x^{2}}{(x-1)\cdot (\sqrt{x^{2}+3}+2x)} =\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3(1-x^{2})}{(x-1)\cdot (\sqrt{x^{2}+3}+2x)} =\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{3(1-x)\cdot(1+x)}{(x-1)\cdot (\sqrt{x^{2}+3}+2x)} =\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{-3\cdot(1+x)}{\sqrt{x^{2}+3}+2x} =\dfrac{-3\cdot(1+1)}{\sqrt{1^{2}+3}+2\cdot 1} = -\dfrac{3}{2}. \end{align*}

    Επίσης έχουμε

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x+2-\sqrt{x^{2}+8x}}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\big(x+2-\sqrt{x^{2}+8x}\big)\cdot \big(x+2 +\sqrt{x^{2}+8x}\big) }{(x-1)\cdot \big(x+2 +\sqrt{x^{2}+8x}\big)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{(x+2)^{2}-\sqrt{x^{2}+8x}^{2} }{(x-1)\cdot \big(x+2 +\sqrt{x^{2}+8x}\big)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+4x+4-(x^{2}+8x) }{(x-1)\cdot \big(x+2 +\sqrt{x^{2}+8x}\big)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+4x+4-x^{2}-8x) }{(x-1)\cdot \big(x+2 +\sqrt{x^{2}+8x}\big)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{4-4x }{(x-1)\cdot \big(x+2 +\sqrt{x^{2}+8x}\big)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{4(1-x) }{(x-1)\cdot \big(x+2 +\sqrt{x^{2}+8x}\big)}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{-4}{x+2 +\sqrt{x^{2}+8x}}= \\\\ &\dfrac{-4}{1+2 +\sqrt{1^{2}+8}}= \dfrac{-4}{3 +3}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}. \end{align*}

    Τελικά

        \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{x^{2}+8x}-x+2}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\Bigg(\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2x}{x-1} +\dfrac{x+2-\sqrt{x^{2}+8x}}{x-1}\Bigg)=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-2x}{x-1} + \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x+2-\sqrt{x^{2}+8x}}{x-1}=\\\\ &-\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{13}{6}. \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα, Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση, Μπάρλας, Ελληνοεκδοτική.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *