ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Αν για μια συνάρτηση $f$ ισχύει ότι: $f'(x)=0$ για κάθε $x\in\Delta_1\cup\Delta_2\cup...$ όπου $\Delta_1,\Delta_2,...$ διαστήματα, τότε είναι:

$f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $c_1, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_1$ \\ $c_2, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_2$ \\ $\vdots$ \end{tabular} \right.$

Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\rr^*\rightarrow \rr$ για την οποία ισχύουν $f(2)=2,f(-1)=-3.$ Αν

$f'(x)=-\dfrac{2f(x)}{x}, \,\, x\neq 0.$

i.) Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση $g(x)=x^2f(x)$ ισχύει $g'(x)=0$ για κάθε $x\in\rr^*$
ii.) Να βρείτε το τύπο της $f.$
Λύση
i.) Για κάθε $x\in\rr^*$ έχουμε:

$\begin{align*} g'(x) & =2xf(x)+x^2f'(x) \\\\ &=2xf(x)+x^2\cdot \Big(-\frac{2f(x)}{x}\Big)\\\\ &=2xf(x)-2xf(x)\\\\ &=0. \end{align*}$

Άρα $g'(x) = 0.$

ii.)Για κάθε $x\in\rr^*=(-\infty, 0)\cup(0, +\infty)$ ισχύει ότι $g'(x)=0$ άρα υπάρχουν σταθερές $c_1$ και $c_2$ ώστε:

$g(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $c_1, \quad x>0$ \\\\ $c_2, \quad x<0$ \\ \end{tabular} \right.$

Δηλαδή για $x>0$ είναι:

$g(x)=c_1 \Leftrightarrow x^2f(x)=c_1 \Leftrightarrow f(x)=\frac{c_1}{x^2}$

και για $x<0$ είναι:

$g(x)=c_2 \Leftrightarrow x^2f(x)=c_2 \Leftrightarrow f(x)=\frac{c_2}{x^2}$

Δηλαδή είναι:

$f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $\dfrac{c_1}{x^2},$ & $x>0$ \\\\ $\dfrac{c_2}{x^2},$ & $x<0$ \\ \end{tabular} \right.$

Επίσης ισχύουν:

$f(-1)=-3 \Leftrightarrow \frac{c_2}{(-1)^2}=-3 \Leftrightarrow c_2=-3$

και

$f(2)=2 \Leftrightarrow \frac{c_1}{2^2}=2 \Leftrightarrow c_1=8$

Τελικά είναι:

$f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $\dfrac{8}{x^2}, \quad x>0$ \\\\ $\dfrac{-3}{x^2}, \quad x<0$ \end{tabular} \right.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά