ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

$\section{\greektext Μέτρο διανύσματος} Αν $\vec{α}=(\mathrm{x,y})$ ένα διάνυσμα του Καρτεσιανού επιπέδου, \\τότε το μέτρο του διανύσματος $\vec{α}$ δίνεται από τον τύπο: $$|\vec{α}|=\sqrt{\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2}$$ \textbf{Απόδειξη}\\ Θεωρούμε σημείο $Α$ με διανυσματική ακτίνα:\\ $$\overrightarrow{OA}=\vec{α}=(\mathrm{x,y})$$$

Τότε είναι $Α(\mathrm{x,y})$ και $A_1(x,0),\quad A_2(0,y)$ είναι οι προβολές του $Α$ στους άξονες $x'x$ και $y'y$ αντίστοιχα, ισχύουν:

$OA_1=|\mathrm{x}| \quad \text{και} \quad OA_2=|\mathrm{y}|.$

Τότε το τρίγωνο $\overset{\triangle}{ΟΑ_1Α}$ ορθογώνιο με γωνια $\widehat{A_{1}} = 90^{^{o}}$
και η πλευρά $OA$ υποτείνουσα, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

$\begin{align*} & {\big(ΟΑ\big)}^2={\big(ΟΑ_{1}\big)}^{2}+{\big(A_{1}Α_{2}\big)}^{2} \Leftrightarrow\\\\ & {\big(ΟΑ\big)}^2={\big(ΟΑ_{1}\big)}^{2}+{\big(OΑ_{2}\big)}^{2} \Leftrightarrow\\\\ &{|\overrightarrow{OA}|}^2= {|\mathrm{x}|}^2+{|\mathrm{y}|}^2 \Leftrightarrow\\\\ &{|\vec{α}|}^2={\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2 \Leftrightarrow \\\\ &|\vec{α}|=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}. \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
α.) Για τον υπολογισμό του μέτρου του διανύσματος $\vec{α}=(6,-8)$ έχουμε:

$\begin{align*} |\vec{α}|=&\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}\\\\ &=\sqrt{6^2+(-8)^2}\\\\ &=\sqrt{36+64}\\\\ &=\sqrt{100}=10 \end{align*}$

$\text{Άρα } \quad |\vec{α}| =10.$

β.) Έχουμε:

$\begin{align*} &\vec{\gamma}=\vec{α}+\vec{\beta} \Leftrightarrow \\\\ &\vec{\gamma}=(6,-8)+(\mathrm{x},2\mathrm{x}+15) \Leftrightarrow \\\\ &\vec{\gamma}=(\mathrm{x}+6, 2\mathrm{x}+7) \end{align*}$

Ισχύει ότι:

$\begin{align*} &|\vec{\gamma}|=\sqrt{5} \Leftrightarrow\\\\ &\sqrt{{\mathrm{x_{\gamma}}}^2+{\mathrm{y_{\gamma}}}^2}=5\Leftrightarrow\\\\ &\sqrt{{(\mathrm{x}+6)}^2+{(2\mathrm{x}+7)}^2}=\sqrt{5}\Leftrightarrow\\\\ &\sqrt{{(\mathrm{x}+6)}^2+{(2\mathrm{x}+7)}^2}^{2}=\sqrt{5}^{2}\Leftrightarrow\\\\ &{(\mathrm{x}+6)}^2+{(2\mathrm{x}+7)}^2=5\Leftrightarrow\\\\ &\mathrm{x^2}+12\mathrm{x}+36+4\mathrm{x^2}+28\mathrm{x}+49=5 \Leftrightarrow \\\\ & 5\mathrm{x^2}+40\mathrm{x}+75=5 \Leftrightarrow\\\\ & 5\mathrm{x^2}+40\mathrm{x}+75-5=0 \Leftrightarrow\\\\ & 5\mathrm{x^2}+40\mathrm{x}+80=0 \Leftrightarrow\\\\ &\mathrm{x^2} + 8\mathrm{x} + 16=0 \Leftrightarrow\\\\ &\mathrm{x^2} + 8\mathrm{x} + 4^{2}=0 \Leftrightarrow\\\\ &{(x+4)}^2=0 \Leftrightarrow \mathrm{x}=-4. \end{align*}$