ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕ ΙΣΑ ΜΕΤΡΑ

Ισότητα μέτρων

Όταν έχουμε ώς δεδομένο οτι δυο διανύσματα έχουν το ίδιο μέτρο τότε υψώνουμε στο τετράγωνο και κάνουμε χρήση της ιδιότητας:

$\lvert \vec{\nu} \rvert^{2} = \vec{\nu}^{2}.$

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

a) Έχουμε:

$\lvert \vec{α} - \vec{\beta} \rvert = \lvert \vec{α} \rvert$

$\lvert \vec{α} - \vec{\beta} \rvert^{2} = \lvert \vec{α} \rvert^{2}$

$(\vec{α} - \vec{\beta})^{2} = \vec{α}^{2}$

$\vec{α}^{2} - 2 \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta}^{2} = \vec{α}^2$

$-2\vec{α} \cdot \vec{\beta} + \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} = 0$

$-2 \cdot 8 + \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} = 0$

$\lvert \vec{\beta} \rvert^{2} = 16$

$\lvert \vec{\beta} \rvert = 4$

b) Έχουμε:

$\lvert \vec{α} + \lambda \vec{\beta} \rvert = \lvert \vec{α} - 2\lambda \vec{\beta} \rvert$

$\lvert \vec{α} + \lambda \vec{\beta} \rvert^{2} = \lvert \vec{α} - 2\lambda \vec{\beta} \rvert^{2}$

$(\vec{α} + \lambda \vec{\beta})^{2} = (\vec{α} - 2\lambda \vec{\beta})^{2}$

$\vec{α}^{2} + 2\lambda \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \lambda^{2} \vec{\beta}^{2} = \vec{α}^{2} - 4\lambda \vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4\lambda^{2} \vec{\beta}^{2}$

$2\lambda \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \lambda^{2} \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} = -4 \lambda \vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4 \lambda^{2} \lvert \vec{\beta} \rvert^{2}$