ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΠΟΥ ΔΕΝ ΙΣΧΥΟΥΝ ΠΑΝΤΑ

Σχέσεις που δεν ισχύουν πάντα

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α) Επειδή το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων $\vec{α} \cdot \vec{\beta},$ είναι αριθμός τότε το $\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \rvert$ είναι η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού ενώ το $\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert$ είναι το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων $\vec{α}$ και $\vec{\beta}.$
Αν για παράδειγμα, είναι

$\vec{α}, \vec{\beta} \neq \vec{0}\quad \text{ και} \quad (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}) = \theta,$

τότε:

$\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=|\vec{\alpha}|\cdot|\vec{\beta}| \cdot \syn (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}})$

$\begin{align*} \Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert & = \Big\lvert \lvert \vec{α} \cdot\rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \syn \theta\Big\lvert\\\\ \Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \lvert \syn \theta \rvert. \end{align*}$

Επειδή ισχύει $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ διακρίνουμε τις περιπτωσεις:

ΠΕΡ.1.

Aν $\theta = 180^{\circ},$ τότε $\vec{α} \uparrow \downarrow \vec{\beta}$ και $\syn\theta=\syn 180^{\circ}= -1$

Aν $\theta = 0^{\circ},$ τότε $\vec{α} \uparrow \uparrow \vec{\beta}$ και $\syn\theta=\syn 0^{\circ}= 1$

δηλαδη έχουμε $\vec{\alpha}// \vec{\beta}$ και $\Big|\syn\theta\Big| =1$ και θα ισχύει:

$\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \lvert \syn \theta \rvert$

$\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert \cdot 1$

$\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert$

ΠΕΡ.2.

Αν $0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$ και $\theta \neq 90^{\circ}$ τοτε $\vec{α} \nparallel \vec{\beta}$
οπότε $-1< \syn \theta <1$ με $\syn \theta \neq 0.$ δηλαδή $0 < \Big| \syn\theta \Big|<1$
άρα θα ισχύει:

$\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \lvert \syn \theta \rvert$

$\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert < \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert.$

ΠΕΡ.3.
Αν $\theta = 90^{\circ}$ τοτε $\vec{α} \perp \vec{\beta}$ και $\syn\theta = 0$
άρα θα έχουμε:

$\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \lvert \syn \theta \rvert$

$\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert =0$

Από ΠΕΡ.1. ΠΕΡ.2. και ΠΕΡ.3 έχουμε ότι:

$\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert \leq \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert.$

ΤΟ ΙΣΟΝ $``="$ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΑΝ $\vec{\alpha}// \vec{\beta}$ ΜΟΝΟΝ

β) Ομοίως έχουμε:

$(\vec{α} \cdot \vec{\beta})^{2} =$

$(\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \sigma \upsilon \nu \theta)^{2} =$

$\lvert \vec{α} \rvert^{2} \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} \sigma \upsilon \nu^{2}\theta =$

$\vec{α}^{2} \vec{\beta}^2 \sigma \upsilon \nu^{2}\theta$

Παίρνοντας τις ίδιες περιπτώσεις για την γωνία $\theta$ οπώς στο ερώτημα α)
έχουμε: αν $\sigma \upsilon \nu^{2}\theta \neq 1 \Leftrightarrow \syn\theta \neq \pm 1,$ δηλαδή αν $\vec{α} \nparallel \vec{\beta}.$

$(\vec{α} \cdot \vec{\beta})^{2} = \vec{α}^{2} \vec{\beta}^2 \sigma \upsilon \nu^{2}\theta$

$(\vec{α} \cdot \vec{\beta})^{2}\neq \vec{α}^{2} \vec{\beta}^2$

Γενικά για οποιαδήποτε διανύσματα $\vec{α}$ και $\vec{\beta}$ ισχύει:

$(\vec{α} \cdot \vec{\beta})^{2} \leq \vec{α}^{2}\vec{\beta}^{2}$

Η ισότητα $(\vec{α} \cdot \vec{\beta})^{2} = \vec{α}^{2}\vec{\beta}^{2}$ ισχύει όταν $\sigma \upsilon \nu \theta = \pm 1,$ δηλαδή όταν $\vec{α} \parallel \vec{\beta}.$