ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Για να βρούμε την οξεία γωνία \varphi που σχηματίζουν δύο ευθείες \epsilon_{1} και \epsilon_{2}, εργαζόμαστε ως εξής:

\bullet Θεωρούμε διανύσματα \vec{\delta_{1}} \parallel \epsilon_{1} και \vec{\delta_{2}} \parallel \epsilon_{2}.

\bullet Βρίσκουμε τη γωνία \omega = (\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) χρησιμοποιώντας τη σχέση:

    \[\sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) = \frac{\vec{\delta_{1}} \cdot \vec{\delta_{2}}}{\lvert\vec{\delta_{1}}\rvert \lvert \vec{\delta_{2}\rvert}}.\]

\bullet Αν \sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) > 0, τότε \omega < 90^{\circ} και η ζητούμενη γωνία είναι η:

    \[\varphi = \omega\]

Τα παράλληλα προς τις ευθείες διανύσματα σχηματίζουν οξεία γωνία.

\bullet Αν \sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) < 0, τότε \omega > 90^{\circ} και η ζητούμενη γωνία είναι η:

    \[\varphi = 108^{\circ} - \omega\]

Τα παράλληλα προς τις ευθείες διανύσματα σχηματίζουν αμβλεία γωνία.

 

ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Έχουμε τις ευθείες:

    \[(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = \mu\mathrm{x} \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{1}):\mu\mathrm{x} - \mathrm{y} = 0\]

Η ευθεία (\epsilon_{1}) έχει στοιχεία:

    \[A_{1}= \mu, \quad B_{1}=-1, \quad \Gamma_{1} =0.\]

και

    \[(\epsilon_{2}): (1 + \mu)\mathrm{x} = (1 - \mu)\mathrm{y} \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{2}):(1 + \mu)\mathrm{x} +(\mu -1)\mathrm{y} = 0\]

Η ευθεία (\epsilon_{2}) έχει στοιχεία:

    \[A_{2}= 1+\mu, \quad B_{2}=\mu -1, \quad \Gamma_{3} =0.\]

Θεωρούμε τα διανύσματα:

    \[\vec{\delta_{1}} = (-B_{1}, A_{1}) \parallel \epsilon_{1}\quad {\text{ και}} \quad \vec{\delta_{2}} = (-B_{2},A_{2}) \parallel \epsilon_{2}.\]

οπότε:

    \[\vec{\delta_{1}} = (1, \mu) \parallel \epsilon_{1}\quad {\text{ και}} \quad \vec{\delta_{2}} = (1 - \mu, 1 + \mu) \parallel \epsilon_{2}.\]

ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Ισχύει ότι:

    \[\sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) = \frac{\vec{\delta_{1}} \cdot \vec{\delta_{2}}}{\lvert\vec{\delta_{1}}\rvert \lvert \vec{\delta_{2}\rvert}} \qquad (1)\]

Όμως είναι:

    \begin{align*} \bullet \vec{\delta_{1}} \cdot \vec{\delta_{2}} =&(1, \mu) \cdot (1 - \mu, 1 + \mu) \\\\ =& x_{1}\cdot x_{2} + y_{1}\cdot y_{2} \\\\ =& 1 \cdot (1 - \mu) + \mu (1 + \mu)\\\\ =& 1 - \mu + \mu + \mu^{2}\\\\ =& 1 + \mu^{2} \end{align*}

    \[\bullet\lvert \vec{\delta_{1}} \rvert = \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2} + \mu^{2}} = \sqrt{1 + \mu^{2}}\]

    \begin{align*} \bullet \lvert \vec{\delta_{2}} \rvert =& \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\\\ =& \sqrt{(1 - \mu)^{2} + (1 + \mu)^{2}} \\\\ =& \sqrt{1 - 2\mu + \mu^{2} + 1 + 2\mu + \mu^{2}}\\\\ =& \sqrt{2 + 2\mu^{2}} = \sqrt{2(1 + \mu^{2})}\\\\ =& \sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + \mu^{2}} \end{align*}

Απο τη σχέση (1) έχουμε:

\sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) = \frac{1 + \mu^{2}}{\sqrt{1 + \mu^{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + \mu^{2}}} = \frac{1 + \mu^{2}}{\sqrt{2} \cdot (1 + \mu^{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Επομένως είναι \sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}>0, οπότε και η οξεία γωνία των ευθειών \epsilon_{1} και \epsilon_{2} είναι 45^{\circ}.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *