Γ Λυκείου / ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σημεία γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων

  • Σημείο ανήκει σε C_{f}

Ένα σημείο M(x_{0}, y_{0}) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f αν και μόνο αν ισχύει: f(x_{0})=y_{0}

Σημείο τομής της γραφικης παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες ή με άλλες συναρτήσεις.

Για να βρούμε:

  • Το σημείο τομής με τον άξονα x'x.

Θέτουμε y=0 και λύνουμε την εξίσωση f(x)=0. Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής θα μας δώσει τα σημεία τομής.

  • Το σημείο τομής με τον άξονα y'y.

Θέτουμε x=0 και λύνουμε την εξίσωση y=f(0). Το σημείο τομής με τον άξονα y'y είναι η λύση της εξίσωσης και είναι το A(0,f(0)). Εφόσον υπάρχει τέτοιο σημείο αυτό είναι και μοναδικό.

  • Τα σημεία τομής δύο συναρτήσεων f(x) και g(x).

Λύνουμε την εξίσωση f(x)=g(x) και οι ρίζες της εξίσωσης αποτελούν τα κοινά σημεία. Αν η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων δεν μας δώσει λύσεις τότε απλά οι συναρτήσεις αυτές δεν έχουν κανένα σημείο τομής.

Σχετική θεση γραφικής παράστασης της f.

  • Με τον άξονα x'x

Για να βρούμε πότε μια συνάρτηση f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x'x. Λύνουμε την ανίσωση f(x)>0, ενώ για κάτω από τον x'x, λύνουμε την ανίσωση f(x)<0.

  • Με μια άλλη γραφική παράσταση

Για να βρούμε σε ποιά διαστήματα μια συνάρτηση f είναι πάνω από μια άλλη συνάρτηση g, λύνουμε την ανίσωση f(x)>g(x).

Παράδειγμα.1
Έστω η συνάρτηση f(x)=x^2-10x+9.
Να βρεθούν τα κοινά σημεία της C_{f}
i) Με τον άξονα x'x.
ii) Με τον άξονα y'y.
iii) Με την συνάρτηση g(x)=-5x+3.
Λύση
i) Η C_{f} με y=f(x), τέμνει τον x'x για y=0, δηλαδή f(x)=0 άρα έχουμε x^2-10x+9=0

    \[\Delta=(-10)^2-4\cdot1\cdot9=100-36=64>0\]

    \begin{align*} & x_{1,2}=\frac{-(-10)\pm\sqrt{64}}{2\cdot1}=\frac{10\pm8}{2} \Leftrightarrow\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x_{1}=9$ \\ $x_{2}=1$ \\ \end{tabular} \right. \end{align*}

Άρα τα κοινά σημεία με τον x'x είναι τα A(9,0) και B(1,0).

ii) Αφου το 0\in A_{f}=\mathbb{R} τότε η C_{f} με y=f(x), τέμνει τον y'y για x=0, δηλαδή
y=f(0)\Leftrightarrow y= 0^2-10\cdot0+9\Leftrightarrow y=9, οπότε το κοινό σημείο με τον y,y είναι το \Gamma(0,9).

iii) Η C_{f} με y=f(x) τέμνει την C_{g} με y =g(x) όταν

    \begin{align*} &f(x)=g(x) \Leftrightarrow\\ &x^2-10x+9=-5x+3 \Leftrightarrow\\ &x^2-10x+5x+9-3=0 \Leftrightarrow\\ &x^2-5x+6=0 \end{align*}

    \[\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0\]

    \begin{align*} & x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5\pm1}{2} \Leftrightarrow\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x_{1}=3$ \\ $x_{2}=2$ \\ \end{tabular} \right. \end{align*}

Οπότε x_{1}=3 και x_{2}=2 και

    \begin{eqnarray*} g(3)&=&-5\cdot3+3 \\ &=&-15+3 \\ &=&-12 \end{eqnarray*}

και

    \begin{eqnarray*} g(2)&=&-5\cdot2+3 \\ &=&-10+3 \\ &=&-7 \end{eqnarray*}

Άρα τα σημεία τομής των C_{f} και C_{g} είναι \Delta(3,-12) και E(2,-7).
Παράδειγμα.2
Έστω η συνάρτηση f(x)=x^2-10x+9.

i) Πότε η C_f βρίσκεται πάνω από τον x'x;
ii) Πότε η C_f βρίσκεται κάτω από τον x'x;
iii) Πότε η C_ f βρίσκεται πάνω από την C_g με g(x)=-5x+3;
Λύση
i) Η C_{f} με y=f(x) είναι πάνω απο τον x'x όταν y>0\Leftrightarrow

    \begin{align*} &f(x)>0\Leftrightarrow \\ &x^2-10x+9>0 \Leftrightarrow\\ &(x-9)(x-1)>0 \end{align*}

    \begin{align*} \begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $1$ & & $ 9$ & & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ x-9$ & &$ -$ & $ 0$ & $ -$ &$ |$&$ +$&\\ \hline $ x-1 $ & &$ -$ & $ |$ & $ +$ &$ 0$&$ +$&\\ \hline $f(x)$ & &$ +$ & $ 0$ & $ -$ &$ 0$&$ +$&\\ \hline \end{tabular}\\ \end{align*}

Τελικά η C_{f} είναι πάνω απο τον x'x όταν (x-9)(x-1)>0 δηλαδή για x\in(-\infty,1)\cup(9,+\infty).
ii)Η C_{f} με y=f(x) είναι κάτω απο τον x'x όταν y<0\Leftrightarrow

    \begin{align*} &f(x)<0\Leftrightarrow \\ &x^2-10x+9<0 \Leftrightarrow\\ &(x-9)(x-1)<0 \end{align*}

Τελικά η C_{f} είναι κάτω απο τον x'x όταν (x-9)(x-1)<0 δηλαδή για x\in(1,9). iii) Η C_{f} με y=f(x) είναι πάνω απο την C_{g} με y=g(x) όταν:

    \begin{align*} &f(x)>g(x)\Leftrightarrow\\ &x^2-10x+9>-5x+3 \Leftrightarrow\\ &x^2-10x+9+5x-3>0 \Leftrightarrow\\ &x^2-5x+6>0 \Leftrightarrow\\ &(x-3)(x-2)>0 \end{align*}

    \begin{align*} \begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ x $&{\tiny{$ -\infty$}}& & $2$& &$ 3$& & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $x-2$& &$-$&$ 0$&$+$&$|$&$+$& \\ \hline $x-3$& &$ -$&$ |$ & $-$& $0$&$+$& \\ \hline $(x-2)(x-3)$& &$+$&$0$&$-$&$0$&$+$& \\ \hline \end{tabular}\\ \end{align*}

Τελικά η C_{f} είναι πάνω απο την C_{g} όταν
f(x)>g(x) \Leftrightarrow f(x)-g(x)>0 \Leftrightarrow (x-3)(x-2)>0 άρα για x\in(-\infty,2)\cup(3, +\infty)

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *