Δίνεται η συνάρτηση
![\[ f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $x^3+x, \quad x\leq1$ \\ $2x^2, \quad x>1$ \end{tabular} \right. \]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-11c692ce4125032a13f91115be896396_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Να βρείτε την 
Λύση
Για 
είναι 
, οπότε:
![\[f'(x)=(x^3+x)' =3x^2+1\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98291be8ca1fd78ab91d27be865d84e2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Για 
είναι 
, οπότε:
![\[f'(x)=(2x^2)' =4x\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc737a3fb23262b6a30e37c9484ddc3c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Εξετάζουμε αν η 
συνεχής στο 
![\[\lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1^+}(x^3+x) =1+1 =2\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-15996f374731c62d63a9c2a92da50ca4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Επίσης
![\[\lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1^-}2x^2 =2\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-10a02fa839ed799b7e2bfc2666a4ac14_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Απο κριτήριο πλευρικων ορίων 
Επίσης έχουμε:
![\[f(1)=2\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac63500c2afdbd68638bbb830bf87845_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Επομένως η είναι συνεχής στο 
Εξετάζουμε αν η παραγωγίζεται στο στο
Θα πρεπει το 
να υπάρχει και να είναι πραγματικός αριθμός.
Έχουμε
![\begin{align*} &\displaystyle\lim_{x \to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^-}\dfrac{x^3+x-2}{x-1}=\\\\ &\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{x^3 -1+x-1}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{x^3 -1^{3}+x-1}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{(x -1)(x^2+x+1)+x-1}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{(x -1)(x^2+x+1)+(x-1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{(x -1)[(x^2+x+1)+1]}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{(x -1)(x^2+x+1+1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^-}\dfrac{(x-1)(x^2+x+2)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^-}(x^2+x+2)=4 \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d5c0878363019c6677d3c96c2e01a276_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Επισης
Άρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 
με 
. Επομένως είναι:
![\[f'(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $3x^2+1, \quad x\leq1$ \\ $4x, \quad x>1$ \end{tabular} \right. \]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-82dd8b34790db7dc48d61d3d83617da5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .