Γ Λυκείου / ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (f(x))^{g(x)}

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Για κάθε πραγματικό αριθμό \alpha>0 ισχύει ότι: \alpha=e^{ln\alpha}
Μια συνάρτηση της μορφής f(x)=(g(x))^{h(x)} ορίζεται όταν: g(x)>0 και h(x)\in\mathbb{R}
Για να βρούμε την f'(x), γράφουμε τον τύπο της f(x) ως εξής:

    \begin{align*} f(x)&=(g(x))^{h(x)}\\\\ &=e^{ln[g(x)]^{h(x)}}\\\\ &=e^{h(x)lng(x)} \end{align*}

Οπότε έχουμε f'(x) = \Big(e^{^{h(x)lng(x)}}\Big)' =e^{^{h(x)lng(x)}}\cdot(h(x)lng(x))'

Παράδειγμα
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f(x)=(x^2+x)^x
Λύση
Η συνάρτηση

    \[f(x)=(x^2+x)^x\]

ορίζεται όταν:

    \begin{align*} &x^2+x>0 \Leftrightarrow\\ &x(x+1)>0 \Leftrightarrow\\ &x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty) \end{align*}

Άρα η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού:

    \[A_f=(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)\]

Για κάθε x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty) είναι:

    \[f(x)= (x^2+x)^x =e^{ln(x^2+x)^x} =e^{xln(x^2+x)}\]

Οπότε έχουμε:

    \begin{align*} f'(x)&=(e^{x\ln(x^2+x)})'\\\\ &=e^{x\ln(x^2+x)}(x\ln(x^2+x))'\\\\ &=e^{x\ln(x^2+x)}[(x)'\cdot\ln(x^2+x)+ x\cdot \big(\ln(x^{2}+x)\big)']\\\\ &=e^{x\ln(x^2+x)}\big(1\cdot\ln(x^2+x)+x\cdot\frac{1}{x^2+x}\cdot(x^2+x)'\big)\\\\ &=e^{x\ln(x^2+x)}(\ln(x^2+x)+x\cdot\frac{1}{x^2+x}\cdot(x^2+x)')\\\\ &=e^{x\ln(x^2+x)}\big(\ln(x^2+x)+x\cdot\frac{1}{x(x+1)}\cdot(2x+1)\big)\\\\ &=e^{x\ln(x^2+x)}\big(\ln(x^2+x)+\frac{1}{x+1}\cdot(2x+1)\big) \end{align*}

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *