ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Έστω ότι έχουμε μια σχέση δύο μεταβλητών $x,y\in\mathbb{R}$ στην οποία τα δύο μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Τότε μπορούμε:

Να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη ως προς $x$ , θεωρώντας το $x$ μεταβλητή και το $y$ αριθμητική σταθερά.
Να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη ως προς $y$ , θεωρώντας το $y$ μεταβλητή και το $x$ αριθμητική σταθερά.
Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow(0,+\infty)$ για την οποία ισχύει
$f(x+y)=f(x)+f(y)+2\sqrt{f(xy)} \quad \text{για κάθε} \quad x,y\in(0,+\infty)$
Να αποδείξετε ότι

$f'(x)-f'(y)=-\frac{y-x}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)$

Λύση
Παραγωγίζουμε τη σχέση

$f(x+y)=f(x)+f(y)+2\sqrt{f(xy)}$

ως πρός $x$ θεωρώντας το $y$ αριθμητική σταθερά.

$\begin{align*} &\Big(f(x+y)\Big)'=\Big(f(x)+f(y)+2\sqrt{f(xy)}\Big)' \Leftrightarrow\\\\ &\Big(f(x+y)\Big)'=\big(f(x)\big)'+\big(f(y)\big)'+\big(2\sqrt{f(xy)}\big)' \Leftrightarrow \end{align*}$

$f'(x+y)\cdot (x+y)'=f'(x)+f'(y)\cdot (y)'+2\dfrac{1}{2\sqrt{f(xy)}}\cdot \Big(f(xy)\Big)' \Leftrightarrow$

$f'(x+y)\cdot (x+y)'=f'(x)+f'(y)\cdot (y)'+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot (xy)' \Leftrightarrow$

$f'(x+y)\cdot [(x)'+(y)']=f'(x)+f'(y)\cdot 0+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot y\cdot (x)' \Leftrightarrow$

$f'(x+y)\cdot (1+0)=f'(x)+0+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)y\cdot 1 \Leftrightarrow$

$\begin{align*} &f'(x+y)\cdot 1=f'(x)+\frac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot y \Leftrightarrow\\\\ &f'(x+y)=f'(x)+\frac{y\cdot f'(xy)}{\sqrt{f(xy)}} \quad (1) \end{align*}$

Παραγωγίζουμε τη σχέση

$f(x+y)=f(x)+f(y)+2\sqrt{f(xy)}$

ως πρός $y$ θεωρώντας το $x$ αριθμητική σταθερά.

$\Big(f(x+y)\Big)'=(f(x)+f(y)+2\sqrt{f(xy)})' \Leftrightarrow$

$\Big(f(x+y)\Big)'=\big(f(x)\big)'+\big(f(y)\big)'+\big(2\sqrt{f(xy)}\big)' \Leftrightarrow$

$f'(x+y)\cdot (x+y)'=f'(x)\cdot(x)'+f'(y)+2\dfrac{1}{2\sqrt{f(xy)}}\cdot\Big(f(xy)\Big)' \Leftrightarrow$

$f'(x+y))\cdot[(x)'+(y)']=f'(x)\cdot 0+f'(y)+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot (xy)' \Leftrightarrow$

$f'(x+y))\cdot(0+1)= 0+f'(y)+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot x\cdot(y)' \Leftrightarrow$

$f'(x+y))\cdot1= f'(y)+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot x\cdot 1 \Leftrightarrow$

$f'(x+y))= f'(y)+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot x \Leftrightarrow$

$f'(x+y)= f'(y)+\dfrac{x\cdot f'(xy)}{\sqrt{f(xy)}} \quad (2)$

Αφαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις $(1)$ και $(2)$ και προκύπτει:

$f'(x)-f'(y)=-\frac{y-x}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά