ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει

$f^3(x)+3xf(x)=x^3-1, \quad x\in\mathbb{R}$

Να βρείτε τις τιμές $f(0)$ και $f'(0)$

Λύση
Αφού για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει ότι $f^3(x)+3xf(x)=x^3-1$
άρα θα ισχύει και για $x=0$

$\begin{align*} &f^3(0)+3\cdot 0\cdot f(0)=0^3-1 \Leftrightarrow\\ &f^3(0)=-1 \Leftrightarrow\\ &f(0)=-1 \end{align*}$

Η συνάρτηση

$g(x)=f^3(x)+3xf(x)$

είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων, αφού η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη από εκφώνηση, και η συνάρτηση

$h(x)=x^3-1$

είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική. Επομένως μπορούμε να παραγωγίσουμε την αρχική σχέση.
(Αν δεν μας έδινε η εκφώνηση ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη τότε θα έπρεπε να υπολογίσω τη παράγωγο με τον ορισμό)

$\begin{align*} &(f^3(x)+3xf(x))'=(x^3-1)' \Leftrightarrow\\\\ &\big(f^3(x)\big)'+\big(3xf(x))'=(x^3)'-(1)'\Leftrightarrow\\\\ &3f^2(x)f'(x)+3f(x)+3xf'(x)=3x^2 \quad (1) \end{align*}$

Θέτουμε $x=0$ στη σχέση $(1)$ και προκύπτει:

$\begin{align*} &3f^2(0)f'(0)+3f(0)+3 \cdot 0f'(0)=3\cdot 0^2 \Leftrightarrow\\ &3(-1)^2f'(0)+3(-1)=0 \Leftrightarrow\\ &3f'(0)=3 \Leftrightarrow\\ &f'(0)=1 \end{align*}$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά